Logaritamska nejednačina sa osnovom 1/4

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

log_{\frac{1}{4}}{(2-x)} > log_{\frac{1}{4}}{\frac{2}{x+1}}

REŠENJE ZADATKA

Jednačina ima smisla jedino za $x \in (-1,2).$

Kako je osnova logaritma $0<a<1,$ izraz $log_{a}{x}>log_{a}{b}$ je ekvivalentan sa $x<b:$

2-x < \frac{2}{x+1}

Prebaciti sve činioce izraza na jednu stranu znaka nejednakosti, kako bi na drugoj ostala 0:

2-x-\frac 2 {x+1}<0

Proširiti sve činioce izraza na isti imenilac:

\frac {2(x+1)-x(x+1)-2} {x+1} <0

Osloboditi se zagrada:

\frac {x-x^2} {x+1}<0

Da bi nejednačina bila tačna, postoje dva slučaja:

1) x-x^2<0 \land x+1>0

2) x-x^2>0, x+1<0

Naći uniju rešenja oba slučaja i uslova postavljenog na početku zadatka. To je konačno rešenje:

x \in (-1,0) \cup (1,2)

Zadatak 6