Logaritamska nejednačina: zbir logaritama osnove 1/2

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\log_{\frac 12}(x-\frac 12 )+\log_{\frac12}(x-1)\ge1

REŠENJE ZADATKA

Logaritam je definisan za:

x>\frac 12 \quad\land\quad x>1 \quad \implies \quad x>1

Primeniti formulu: $\log_axy=\log_ax+\log_ay$

\log_{\frac 12}\bigg((x-\frac 12 )(x-1)\bigg)\ge1

Primeniti formulu: $\log_a a=1,$ gde je $a=\frac 1 2,$ tako da logaritmi sa obe strane znaka nejednakosti imaju istu osnovu.

\log_{\frac 12}\bigg((x-\frac 12 )(x-1)\bigg)\ge\log_{\frac 12}\frac 12

Pošto su osnove jednake, uporediti argumente, ali s obzirom da je osnova u intervalu $0 < \frac{1}{2} < 1$ promeniti smer znaka nejednakosti.

(x-\frac 12 )(x-1)\le\frac 12

Osloboditi se zagrada množenjem:

x^2-\frac 32x+\frac 12\le\frac 12

Pomnožiti izraz sa $2:$

2x^2-3x+1\le1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

2x^2-3x\le0

Razdvojiti na proste činioce.

x(2x-3)\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

x_1=0 \quad\lor\quad x_2=\frac 32

x\in(-\infty, 0]

x\in[0,\frac 32]

x\in[\frac 32, \infty)

x

-

+

+

2x-3

-

-

+

x(2x-3)

+

-

+

Iz tabele utvrditi za koje vrednosti $x$ važi $x(2x-3)\le0$ i odrediti presek sa uslovom $x>1$

x\in[0,\frac 32]\ \cap \ x\in(1,\infty)=(1,\frac 32]

$\log_{\frac 12}\bigg(x-\frac 12 \bigg)+\log_{\frac12}(x-1)\ge1$