Logaritamska jednačina: zbir logaritama osnove 3

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\log_3(x+1)+\log_3(x+3)=1

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

x+1\gt0 \quad\land\quad x+3\gt0 \implies x\gt-1 \quad\land\quad x\gt-3 \implies x\gt-1

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_axy=\log_ax+\log_ay, \ x\gt0,\ y \gt0,\ a\gt0, \ a\not=1$

\log_3((x+1)(x+3))=1

Srediti izraz u zagradi:

\log_3(x^2+4x+3)=1

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1,$ tako da izrazi sa obe strane znaka jednakosti imaju istu osnovu:

\log_3(x^2+4x+3)=\log_33

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

x^2+4x+3=3

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

x^2+4x=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

x(x+4)=0

Jednačina ima dva rešenja:

x=0 \quad\lor\quad x=-4

Kako drugo rešenje ne ispunjava uslov jednačine, ono se odbacuje. Konačno rešenje:

x=0

3. Logaritamska jednačina