Logaritamska nejednačina: log3 x < log9 (x + 2)

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\log_3x<\log_9(x+2)

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x>0 \quad\land\quad x>-2 \implies x>0

Drugačije zapisati osnovu logaritma:

\log_3x<\log_{3^2}(x+2)

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a^s}x=\frac 1s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\not=1$

\log_3x<\frac 12\log_{3}(x+2)

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

\log_3x<\log_{3}(x+2)^{\frac 12}

Kako su osnove jednake, moguće je porediti numeruse:

x<(x+2)^{\frac 12}

Primeniti osnovnu osobinu operacija sa stepenima i korenima: $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$

x<\sqrt{(x+2)}

Kvadrirati izraz:

x^2<|x+2|

Po definiciji apsolutne vrednosti, postoje dva slučaja:

1. \quad x^2<x+2, \ x+2\ge0 \qquad \implies \qquad x^2-x-2<0, \ x\ge-2 \qquad \implies \qquad(x+1)(x-2)<0, \ x\ge-2\\ 2. \quad x^2<-x-2, \ x+2<0 \qquad \implies \qquad x^2+x+2<0, \ x<0 \qquad \implies \qquad x\not\in\mathbb{R}

Pronaći nule kvadratne funkcije u prvom slučaju:

(x+1)(x-2)=0 \implies x=-1\quad\lor\quad x=2

x\in(-\infty,-1)

x\in(-1,2)

x\in(2, \infty)

x+1

-

+

+

x-2

-

-

+

(x+1)(x-2)

+

-

+

Iz tabele utvrditi za koje vrednosti $x$ važi $(x+1)(x-2)<0$ i odrediti presek sa uslovima $x\ge-2$ i $x>0$

x\in(-1,2) \ \cap \ x\in(0,\infty)=(0,2)

$\log_3x<\log_9(x+2)$