Logaritamska jednačina: promena osnove logaritma

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

log_{x}{3} + log_{3}{x} = log_{\sqrt{x}}{3} + log_{3}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a}{x}=\frac {\log_{b}{x}} {\log_{b}{a}}$ :

\frac {log_{3}{3}} {log_{3}{x}} + log_{3}{x} = \frac {log_{3}{3}} {log_{3}{\sqrt{x}}}+ log_{3}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2}

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a}{a}=1$ :

\frac 1 {log_{3}{x}} + log_{3}{x} = \frac 1 {log_{3}{\sqrt{x}}}+ log_{3}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2}

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a}{x^s}= s\log_{a}{x}$ :

\frac 1 {log_{3}{x}} + log_{3}{x} = \frac 1 {{\frac 1 2}log_{3}{x}}+ {\frac 1 2}log_{3}{x} + \frac{1}{2}

Uvesti smenu:

log_{3}{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

\frac 1 t + t = \frac 1 {{\frac 1 2}t}+ {\frac 1 2}t + \frac{1}{2}

Pomnožiti ceo izraz sa $2x:$

2+2t^2=4+t^2+t

Prebaciti sve činioce izraza na jednu stranu znaka jednakosti, kako bi na drugoj ostala 0:

t^2-t-2=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}:$

t_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{1^2-4*1*(-2)}} {2*1} \implies t_1=-1, t_2=2

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

log_{3}{x_1}=-1, log_{3}{x_2}=2

Rešiti jednačine:

x_1=\frac 1 3, x_2=9

Zadatak 5