Eksponencijalni sistem sa tri nepoznate

Uvodimo smene kako bismo pojednostavili sistem jednačina. Neka je $u = 11^{xz} ,$ $v = 11^z$ i $w = 5^{y/2} .$

u = 11^{xz}, \quad v = 11^z, \quad w = 5^{y/2}

Primetimo da se izrazi u sistemu mogu zapisati preko novih promenljivih. Važi $5^y = (5^{y/2})^2 = w^2$ i $11^{(x-1)z} = 11^{xz - z} = \frac{11^{xz}}{11^z} = \frac{u}{v} .$

5^y = w^2, \quad 11^{(x-1)z} = \frac{u}{v}

Zamenom u početni sistem dobijamo novi sistem jednačina:

\begin{cases} u - 2w^2 = 71 \\ v + 2w = 21 \\ \frac{u}{v} + w = 16 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo promenljivu $v$ preko $w :$

v = 21 - 2w

Iz treće jednačine izražavamo promenljivu $u$ preko $v$ i $w :$

\frac{u}{v} = 16 - w \implies u = v(16 - w)

Zamenjujemo izraz za $v$ u dobijenu jednačinu za $u$ i sređujemo:

u = (21 - 2w)(16 - w) = 336 - 21w - 32w + 2w^2 = 2w^2 - 53w + 336

Sada zamenjujemo dobijeni izraz za $u$ u prvu jednačinu sistema:

(2w^2 - 53w + 336) - 2w^2 = 71

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po $w :$

-53w + 336 = 71 \implies 53w = 265 \implies w = 5

Vraćamo vrednost $w = 5$ u izraz za $v :$

v = 21 - 2 \cdot 5 = 21 - 10 = 11

Zatim računamo vrednost promenljive $u :$

u = 11 \cdot (16 - 5) = 11 \cdot 11 = 121

Vraćamo se na originalne promenljive. Za $w = 5$ imamo:

5^{y/2} = 5^1 \implies \frac{y}{2} = 1 \implies y = 2

Za $v = 11$ imamo:

11^z = 11^1 \implies z = 1

Za $u = 121$ imamo:

11^{xz} = 121 \implies 11^{xz} = 11^2 \implies xz = 2

Zamenom $z = 1$ u prethodnu jednačinu dobijamo vrednost za $x :$

x \cdot 1 = 2 \implies x = 2

Konačno rešenje sistema je uređena trojka $(x, y, z) :$

(x, y, z) = (2, 2, 1)

Započni učenje

Privatni časovi

488.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci