2083.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina:

{3x−2y2=773x2−2y22=7\begin{cases} 3^x - 2^{y^2} = 77 \\ 3^{\frac{x}{2}} - 2^{\frac{y^2}{2}} = 7 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smene u=3x2 u = 3^{\frac{x}{2}} i v=2y22. v = 2^{\frac{y^2}{2}} . Kako su eksponencijalne funkcije uvek pozitivne, važi u>0 u > 0 i v>0. v > 0 . Sistem postaje:

{u2−v2=77u−v=7\begin{cases} u^2 - v^2 = 77 \\ u - v = 7 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo u u preko v. v .

u=v+7u = v + 7

Zamenjujemo dobijeni izraz za u u u prvu jednačinu.

(v+7)2−v2=77(v+7)^2 - v^2 = 77

Kvadriramo binom i pojednostavljujemo jednačinu.

v2+14v+49−v2=77v^2 + 14v + 49 - v^2 = 77

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po v. v .

14v=28  ⟹  v=214v = 28 \implies v = 2

Računamo vrednost za u u zamenom v=2 v = 2 u izraz u=v+7. u = v + 7 .

u=2+7=9u = 2 + 7 = 9

Vraćamo smenu za u u kako bismo našli x. x .

3x2=93^{\frac{x}{2}} = 9

Zapisujemo 9 9 kao stepen osnove 3 3 i izjednačavamo izložioce.

3x2=32  ⟹  x2=2  ⟹  x=43^{\frac{x}{2}} = 3^2 \implies \frac{x}{2} = 2 \implies x = 4

Vraćamo smenu za v v kako bismo našli y. y .

2y22=22^{\frac{y^2}{2}} = 2

Izjednačavamo izložioce i rešavamo po y. y .

y22=1  ⟹  y2=2  ⟹  y=±2\frac{y^2}{2} = 1 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2}

Zapisujemo konačno rešenje sistema kao skup uređenih parova (x,y). (x, y) .

(x,y)∈{(4,2),(4,−2)}(x, y) \in \{(4, \sqrt{2}), (4, -\sqrt{2})\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti