Eksponencijalni sistem sa razlikom 77 i 7

Uvodimo smene $u = 3^{\frac{x}{2}}$ i $v = 2^{\frac{y^2}{2}} .$ Kako su eksponencijalne funkcije uvek pozitivne, važi $u > 0$ i $v > 0 .$ Sistem postaje:

\begin{cases} u^2 - v^2 = 77 \\ u - v = 7 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $u$ preko $v .$

u = v + 7

Zamenjujemo dobijeni izraz za $u$ u prvu jednačinu.

(v+7)^2 - v^2 = 77

Kvadriramo binom i pojednostavljujemo jednačinu.

v^2 + 14v + 49 - v^2 = 77

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po $v .$

14v = 28 \implies v = 2

Računamo vrednost za $u$ zamenom $v = 2$ u izraz $u = v + 7 .$

u = 2 + 7 = 9

Vraćamo smenu za $u$ kako bismo našli $x .$

3^{\frac{x}{2}} = 9

Zapisujemo $9$ kao stepen osnove $3$ i izjednačavamo izložioce.

3^{\frac{x}{2}} = 3^2 \implies \frac{x}{2} = 2 \implies x = 4

Vraćamo smenu za $v$ kako bismo našli $y .$

2^{\frac{y^2}{2}} = 2

Izjednačavamo izložioce i rešavamo po $y .$

\frac{y^2}{2} = 1 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2}

Zapisujemo konačno rešenje sistema kao skup uređenih parova $(x, y) .$

(x, y) \in \{(4, \sqrt{2}), (4, -\sqrt{2})\}

Započni učenje

Privatni časovi

489.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci