2052. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo domen nejednačine. Pošto se promenljiva $x$ nalazi u imeniocu eksponenta na desnoj strani, mora važiti:

x \neq 0

Svedimo obe strane nejednačine na istu osnovu. Znamo da je $\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2} .$ Zamenom u nejednačinu dobijamo:

2^{x+2} > (2^{-2})^{1/x}

Primenjujemo pravilo za stepenovanje stepena $(a^m)^n = a^{m \cdot n} :$

2^{x+2} > 2^{-2/x}

Pošto je osnova $a = 2$ veća od 1, funkcija je rastuća, pa se smer nejednakosti zadržava pri prelasku na eksponente:

x + 2 > -\frac{2}{x}

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili nulu na desnoj strani:

x + 2 + \frac{2}{x} > 0

Svodimo levu stranu na zajednički imenilac:

\frac{x^2 + 2x + 2}{x} > 0

Ispitujemo znak kvadratnog trinoma u brojocu $x^2 + 2x + 2 .$ Računamo diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4

Pošto je diskriminanta $D < 0$ i vodeći koeficijent $a = 1 > 0 ,$ kvadratni trinom je uvek pozitivan za svako realno $x :$

x^2 + 2x + 2 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Sada se nejednačina $\frac{x^2 + 2x + 2}{x} > 0$ svodi na ispitivanje znaka imenioca, jer je brojilac uvek pozitivan:

x > 0

Konačno rešenje nejednačine, uzimajući u obzir domen, jeste:

x \in (0, +\infty)

2052.Eksponencijalne jednačine i nejednačine