Eksponencijalna nejednačina sa 1,25 i 0,64

Prvo određujemo domen nejednačine. Zbog prisustva korena $\sqrt{x} ,$ izraz pod korenom mora biti nenegativan.

x \ge 0

Zapišimo osnove stepena u obliku razlomaka kako bismo ih sveli na istu osnovu. Primetimo da je $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$ i $0,64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25} .$

1,25 = \frac{5}{4}, \quad 0,64 = \left(\frac{4}{5}\right)^2

Sada nejednačinu možemo zapisati preko osnove $\frac{5}{4} .$ Koristimo pravilo $\frac{4}{5} = (\frac{5}{4})^{-1} .$

\left(\frac{5}{4}\right)^{1-x} < \left(\left(\frac{5}{4}\right)^{-2}\right)^{2(1+\sqrt{x})}

Sredimo desnu stranu koristeći pravilo za stepenovanje stepena $(a^m)^n = a^{m \cdot n} .$

\left(\frac{5}{4}\right)^{1-x} < \left(\frac{5}{4}\right)^{-4(1+\sqrt{x})}

Pošto je osnova $a = \frac{5}{4} > 1 ,$ funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti ne menja pri prelasku na eksponente.

1 - x < -4(1 + \sqrt{x})

Sredimo nejednačinu i uvedimo smenu $t = \sqrt{x} ,$ gde je $t \ge 0 .$ Tada je $x = t^2 .$

1 - t^2 < -4 - 4t \implies t^2 - 4t - 5 > 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu $t^2 - 4t - 5 = 0$ da bismo odredili nule polinoma.

t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \implies t_1 = 5, t_2 = -1

t \in (-\infty, -1)

t \in (-1, 5)

t \in (5, +\infty)

t^2 - 4t - 5

+

-

+

Iz tabele i uslova $t \ge 0 ,$ dobijamo da je rešenje po $t :$

t > 5

Vraćamo smenu $\sqrt{x} = t .$

\sqrt{x} > 5 \implies x > 25

Konačno rešenje, uzimajući u obzir domen $x \ge 0 ,$ jeste:

x \in (25, +\infty)

Započni učenje

Privatni časovi

490.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci