2053.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu nejednačinu: (1,25)1−x<(0,64)2(1+x). (1,25)^{1-x} < (0,64)^{2(1+\sqrt{x})} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Zbog prisustva korena x, \sqrt{x} , izraz pod korenom mora biti nenegativan.

x≥0x \ge 0

Zapišimo osnove stepena u obliku razlomaka kako bismo ih sveli na istu osnovu. Primetimo da je 1,25=125100=54 1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4} i 0,64=64100=1625. 0,64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25} .

1,25=54,0,64=(45)21,25 = \frac{5}{4}, \quad 0,64 = \left(\frac{4}{5}\right)^2

Sada nejednačinu možemo zapisati preko osnove 54. \frac{5}{4} . Koristimo pravilo 45=(54)−1. \frac{4}{5} = (\frac{5}{4})^{-1} .

(54)1−x<((54)−2)2(1+x)\left(\frac{5}{4}\right)^{1-x} < \left(\left(\frac{5}{4}\right)^{-2}\right)^{2(1+\sqrt{x})}

Sredimo desnu stranu koristeći pravilo za stepenovanje stepena (am)n=am⋅n. (a^m)^n = a^{m \cdot n} .

(54)1−x<(54)−4(1+x)\left(\frac{5}{4}\right)^{1-x} < \left(\frac{5}{4}\right)^{-4(1+\sqrt{x})}

Pošto je osnova a=54>1, a = \frac{5}{4} > 1 , funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti ne menja pri prelasku na eksponente.

1−x<−4(1+x)1 - x < -4(1 + \sqrt{x})

Sredimo nejednačinu i uvedimo smenu t=x, t = \sqrt{x} , gde je t≥0. t \ge 0 . Tada je x=t2. x = t^2 .

1−t2<−4−4t  ⟹  t2−4t−5>01 - t^2 < -4 - 4t \implies t^2 - 4t - 5 > 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu t2−4t−5=0 t^2 - 4t - 5 = 0 da bismo odredili nule polinoma.

t1,2=4±16+202=4±62  ⟹  t1=5,t2=−1t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \implies t_1 = 5, t_2 = -1
t∈(−∞,−1)t \in (-\infty, -1)
t∈(−1,5)t \in (-1, 5)
t∈(5,+∞)t \in (5, +\infty)
t2−4t−5t^2 - 4t - 5
++
−-
++

Iz tabele i uslova t≥0, t \ge 0 , dobijamo da je rešenje po t: t :

t>5t > 5

Vraćamo smenu x=t. \sqrt{x} = t .

x>5  ⟹  x>25\sqrt{x} > 5 \implies x > 25

Konačno rešenje, uzimajući u obzir domen x≥0, x \ge 0 , jeste:

x∈(25,+∞)x \in (25, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti