2076. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Postavljamo dati sistem jednačina:

\begin{cases} x^{4-3y-y^2} = 1 \\ (x+y)^2 = 9 \end{cases}

Eksponencijalna jednačina oblika $a^b = 1$ je zadovoljena u tri različita slučaja:

\begin{aligned} 1) & \quad a = 1 \\ 2) & \quad b = 0 \text{ i } a \neq 0 \\ 3) & \quad a = -1 \text{ i } b \text{ je paran broj} \end{aligned}

**Prvi slučaj:** Neka je osnova $x = 1 .$ Zamenjujemo ovu vrednost u drugu jednačinu sistema:

(1+y)^2 = 9

Rešavamo dobijenu jednačinu po $y :$

1+y = 3 \quad \lor \quad 1+y = -3

Računamo vrednosti za $y .$ Dobijamo rešenja $y = 2$ i $y = -4 .$ Parovi koji su rešenja u ovom slučaju su $(1, 2)$ i $(1, -4) .$

y = 2 \quad \lor \quad y = -4

**Drugi slučaj:** Neka je izložilac jednak nuli, uz uslov da osnova nije nula ( $x \neq 0$ ):

4 - 3y - y^2 = 0 \implies y^2 + 3y - 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $y :$

y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}

Rešenja kvadratne jednačine su:

y_1 = 1, \quad y_2 = -4

Za $y = 1 ,$ zamenjujemo vrednost u drugu jednačinu:

(x+1)^2 = 9 \implies x+1 = 3 \quad \lor \quad x+1 = -3

Računamo vrednosti za $x .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x \neq 0 .$ Dobijamo parove $(2, 1)$ i $(-4, 1) .$

x = 2 \quad \lor \quad x = -4

Za $y = -4 ,$ zamenjujemo vrednost u drugu jednačinu:

(x-4)^2 = 9 \implies x-4 = 3 \quad \lor \quad x-4 = -3

Računamo vrednosti za $x .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x \neq 0 .$ Dobijamo parove $(7, -4)$ i $(1, -4) .$

x = 7 \quad \lor \quad x = 1

**Treći slučaj:** Neka je osnova $x = -1 .$ Zamenjujemo u drugu jednačinu:

(-1+y)^2 = 9 \implies -1+y = 3 \quad \lor \quad -1+y = -3

Računamo vrednosti za $y :$

y = 4 \quad \lor \quad y = -2

Proveravamo da li je izložilac paran za dobijene vrednosti $y .$ Za $y = 4$ računamo vrednost izložioca. Broj -24 je paran, pa je par $(-1, 4)$ validno rešenje.

4 - 3 \cdot 4 - 4^2 = 4 - 12 - 16 = -24

Za $y = -2$ računamo vrednost izložioca. Broj 6 je paran, pa je par $(-1, -2)$ takođe validno rešenje.

4 - 3 \cdot (-2) - (-2)^2 = 4 + 6 - 4 = 6

Konačan skup rešenja sistema je unija svih pronađenih parova:

(x, y) \in \{(1, 2), (1, -4), (2, 1), (-4, 1), (7, -4), (-1, 4), (-1, -2)\}

489.d