Podeli

2116.
Eksponencijalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Da bi eksponencijalna funkcija sa promenljivom osnovom bila definisana, osnova mora biti strogo pozitivna:

x - 3 > 0 \implies x > 3

Nejednačinu oblika $a(x)^{f(x)} > 1$ rešavamo razmatranjem dva slučaja u zavisnosti od osnove: kada je osnova veća od 1 i kada je između 0 i 1.

Slučaj 1: Osnova je veća od 1. Znak nejednakosti za izložioce ostaje isti.

x - 3 > 1 \implies x > 4

Pošto je osnova veća od 1, a desna strana je $1 = (x-3)^0 ,$ izložilac mora biti veći od 0:

2x^2 - 7x > 0

Faktorišemo izraz na levoj strani da bismo odredili njegov znak:

x(2x - 7) > 0

x \in (-\infty, 0)

x \in (0, \frac{7}{2})

x \in (\frac{7}{2}, +\infty)

x

-

+

+

2x-7

-

-

+

x(2x-7)

+

-

+

Na osnovu tabele znakova, rešenje nejednačine $2x^2 - 7x > 0$ je:

x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{7}{2}, +\infty\right)

Nalazimo presek ovog rešenja sa uslovom prvog slučaja $x > 4 :$

x \in (4, +\infty)

Slučaj 2: Osnova je između 0 i 1. Znak nejednakosti za izložioce se menja.

0 < x - 3 < 1 \implies 3 < x < 4

Pošto je osnova manja od 1, izložilac mora biti manji od 0:

2x^2 - 7x < 0

Na osnovu prethodne tabele, rešenje ove nejednačine je interval u kojem je izraz negativan:

x \in \left(0, \frac{7}{2}\right)

Nalazimo presek ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja $3 < x < 4 :$

x \in \left(3, \frac{7}{2}\right)

Konačno rešenje zadatka predstavlja uniju rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x \in \left(3, \frac{7}{2}\right) \cup (4, +\infty)

2116.Eksponencijalne jednačine i nejednačine