2115.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu:

(x2+x+1)x+5x+2⩾(x2+x+1)3(x^2+x+1)^{\frac{x+5}{x+2}} \geqslant (x^2+x+1)^3
REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo osnovu stepena. Kvadratni trinom x2+x+1 x^2+x+1 možemo zapisati u kanonskom obliku:

x2+x+1=(x+12)2+34x^2+x+1 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}

Pošto je kvadrat realnog broja uvek nenegativan, važi da je osnova uvek strogo veća od nule za svako realno x: x :

x2+x+1>0,∀x∈Rx^2+x+1 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Takođe, moramo postaviti uslov da je izložilac definisan, odnosno da imenilac ne sme biti nula:

x+2≠0  ⟹  x≠−2x+2 \neq 0 \implies x \neq -2

Pošto je osnova pozitivna, nejednačinu rešavamo razmatranjem tri slučaja: kada je osnova veća od 1, kada je između 0 i 1, i kada je jednaka 1.

**Slučaj 1:** Osnova je veća od 1.

x2+x+1>1x^2+x+1 > 1

Rešavamo ovu kvadratnu nejednačinu:

x2+x>0  ⟹  x(x+1)>0x^2+x > 0 \implies x(x+1) > 0

Rešenje ovog uslova je:

x∈(−∞,−1)∪(0,+∞)x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)

Kada je osnova veća od 1, znak nejednakosti za izložioce ostaje isti:

x+5x+2⩾3\frac{x+5}{x+2} \geqslant 3

Prebacujemo sve na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac:

x+5x+2−3⩾0  ⟹  x+5−3(x+2)x+2⩾0  ⟹  −2x−1x+2⩾0\frac{x+5}{x+2} - 3 \geqslant 0 \implies \frac{x+5-3(x+2)}{x+2} \geqslant 0 \implies \frac{-2x-1}{x+2} \geqslant 0
x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈(−2,−12)x \in \left(-2, -\frac{1}{2}\right)
x∈(−12,+∞)x \in \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)
−2x−1-2x-1
++
++
−-
x+2x+2
−-
++
++
−2x−1x+2\frac{-2x-1}{x+2}
−-
++
−-

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine −2x−1x+2⩾0 \frac{-2x-1}{x+2} \geqslant 0 je:

x∈(−2,−12]x \in \left(-2, -\frac{1}{2}\right]

Sada tražimo presek ovog rešenja sa uslovom Slučaja 1 x∈(−∞,−1)∪(0,+∞): x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) :

x∈(−2,−12]∩((−∞,−1)∪(0,+∞))=(−2,−1)x \in \left(-2, -\frac{1}{2}\right] \cap \big((-\infty, -1) \cup (0, +\infty)\big) = (-2, -1)

**Slučaj 2:** Osnova je između 0 i 1.

0<x2+x+1<10 < x^2+x+1 < 1

Pošto smo već pokazali da je osnova uvek pozitivna, ostaje da rešimo:

x2+x+1<1  ⟹  x2+x<0  ⟹  x(x+1)<0x^2+x+1 < 1 \implies x^2+x < 0 \implies x(x+1) < 0

Rešenje ovog uslova je:

x∈(−1,0)x \in (-1, 0)

Kada je osnova između 0 i 1, znak nejednakosti za izložioce se menja:

x+5x+2⩽3\frac{x+5}{x+2} \leqslant 3

Slično kao u prethodnom slučaju, dobijamo:

−2x−1x+2⩽0\frac{-2x-1}{x+2} \leqslant 0

Na osnovu prethodne tabele znakova, rešenje ove nejednačine je:

x∈(−∞,−2)∪[−12,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup \left[-\frac{1}{2}, +\infty\right)

Tražimo presek ovog rešenja sa uslovom Slučaja 2 x∈(−1,0): x \in (-1, 0) :

x∈(−1,0)∩((−∞,−2)∪[−12,+∞))=[−12,0)x \in (-1, 0) \cap \left((-\infty, -2) \cup \left[-\frac{1}{2}, +\infty\right)\right) = \left[-\frac{1}{2}, 0\right)

**Slučaj 3:** Osnova je jednaka 1.

x2+x+1=1x^2+x+1 = 1

Rešavamo ovu jednačinu:

x2+x=0  ⟹  x(x+1)=0  ⟹  x=0∨x=−1x^2+x = 0 \implies x(x+1) = 0 \implies x = 0 \lor x = -1

Proveravamo rešenje x=0. x = 0 . Zamenom u početnu nejednačinu dobijamo:

152⩾13  ⟹  1⩾11^{\frac{5}{2}} \geqslant 1^3 \implies 1 \geqslant 1

Ovo je tačno, pa je x=0 x = 0 jedno od rešenja.

Proveravamo rešenje x=−1. x = -1 . Zamenom u početnu nejednačinu dobijamo:

141⩾13  ⟹  1⩾11^{\frac{4}{1}} \geqslant 1^3 \implies 1 \geqslant 1

I ovo je tačno, pa je i x=−1 x = -1 rešenje.

Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz sva tri slučaja:

x∈(−2,−1)∪[−12,0)∪{−1,0}x \in (-2, -1) \cup \left[-\frac{1}{2}, 0\right) \cup \{-1, 0\}

Spajanjem ovih intervala i tačaka dobijamo konačan skup rešenja:

x∈(−2,−1]∪[−12,0]x \in (-2, -1] \cup \left[-\frac{1}{2}, 0\right]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti