2114.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Nejednačina je oblika $a(x)^{b(x)} > 1 .$ Pošto je osnova promenljiva, moramo razmotriti dva slučaja: kada je osnova veća od 1 i izložilac pozitivan, i kada je osnova između 0 i 1, a izložilac negativan.

Neka je osnova $a(x) = 4x^2 - 2x + 1$ i izložilac $b(x) = x^2 - x .$ Prvo proveravamo da li je osnova uvek pozitivna računanjem diskriminante.

Pošto je diskriminanta negativna ($D < 0$) i koeficijent uz kvadratni član pozitivan ($a = 4 > 0$), osnova je uvek strogo veća od nule za svako realno $x .$

Rešavamo nejednačinu $a(x) > 1 .$

Rešenja ove kvadratne nejednačine su vrednosti van korena $x_1 = 0$ i $x_2 = \frac{1}{2} .$

Rešavamo nejednačinu $a(x) < 1 .$ S obzirom na prethodni korak, rešenja su vrednosti između korena.

Na osnovu tabele, određujemo intervale u kojima je izložilac pozitivan, odnosno negativan.

**Slučaj 1**: Osnova je veća od 1 i izložilac je pozitivan. Tražimo presek uslova $a(x) > 1$ i $b(x) > 0 .$

Presek za prvi slučaj je:

**Slučaj 2**: Osnova je između 0 i 1 i izložilac je negativan. Tražimo presek uslova $0 < a(x) < 1$ i $b(x) < 0 .$

Presek za drugi slučaj je:

Konačno rešenje je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja.