2113.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

122x+3⩾12x+2−1\frac{1}{2^{2x}+3} \geqslant \frac{1}{2^{x+2}-1}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se izraz može zapisati pomoću stepena sa osnovom 2. 2 . Koristimo pravila za stepenovanje 22x=(2x)2 2^{2x} = (2^x)^2 i 2x+2=22⋅2x=4⋅2x. 2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x .

1(2x)2+3⩾14⋅2x−1\frac{1}{(2^x)^2+3} \geqslant \frac{1}{4 \cdot 2^x-1}

Uvodimo smenu t=2x. t = 2^x . Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi t>0. t > 0 .

1t2+3⩾14t−1\frac{1}{t^2+3} \geqslant \frac{1}{4t-1}

Prebacujemo sve članove na levu stranu nejednačine.

1t2+3−14t−1⩾0\frac{1}{t^2+3} - \frac{1}{4t-1} \geqslant 0

Svodimo razlomke na zajednički imenilac.

4t−1−(t2+3)(t2+3)(4t−1)⩾0\frac{4t-1 - (t^2+3)}{(t^2+3)(4t-1)} \geqslant 0

Sređujemo brojilac.

−t2+4t−4(t2+3)(4t−1)⩾0\frac{-t^2+4t-4}{(t^2+3)(4t-1)} \geqslant 0

Izvlačimo minus u brojiocu i prepoznajemo kvadrat binoma.

−(t−2)2(t2+3)(4t−1)⩾0\frac{-(t-2)^2}{(t^2+3)(4t-1)} \geqslant 0

Da bismo rešili nejednačinu, analiziramo znak činilaca. Znamo da je t2+3>0 t^2+3 > 0 za svako t, t , pa on ne utiče na znak. Formiramo tabelu znakova za preostale činioce na domenu t>0. t > 0 .

−(t−2)24t−1⩾0\frac{-(t-2)^2}{4t-1} \geqslant 0
t∈(0,14)t \in (0, \frac{1}{4})
t∈(14,2)t \in (\frac{1}{4}, 2)
t∈(2,+∞)t \in (2, +\infty)
−(t−2)2-(t-2)^2
++
++
++
4t−14t-1
++
++
++
Kolicˇnik\text{Količnik}
++
++
++

Iz tabele vidimo da je količnik strogo pozitivan za t∈(0,14). t \in (0, \frac{1}{4}) . Nejednačina zahteva da izraz bude veći ili jednak nuli, pa moramo uključiti i tačku gde je brojilac jednak nuli, a to je t=2. t = 2 .

t∈(0,14)∪{2}t \in \left(0, \frac{1}{4}\right) \cup \{2\}

Vraćamo smenu t=2x. t = 2^x .

2x∈(0,14)∨2x=22^x \in \left(0, \frac{1}{4}\right) \quad \lor \quad 2^x = 2

Rešavamo prvu nejednačinu. Zapisujemo 14 \frac{1}{4} kao stepen osnove 2. 2 .

0<2x<2−2  ⟹  x<−20 < 2^x < 2^{-2} \implies x < -2

Rešavamo drugu jednačinu.

2x=21  ⟹  x=12^x = 2^1 \implies x = 1

Konačno rešenje je unija dobijenih rešenja.

x∈(−∞,−2)∪{1}x \in (-\infty, -2) \cup \{1\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti