2084. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primetimo da se izrazi u prvoj jednačini mogu zapisati preko stepena iz druge jednačine.

3^{2x} = (3^x)^2 \quad \text{i} \quad 2^y = (2^{y/2})^2

Uvodimo smene $u = 3^x$ i $v = 2^{y/2} .$ Pošto su eksponencijalne funkcije uvek pozitivne, važi $u > 0$ i $v > 0 .$ Sistem postaje:

\begin{cases} u^2 - v^2 = 725 \\ u - v = 25 \end{cases}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na prvu jednačinu.

(u - v)(u + v) = 725

Zamenjujemo poznatu vrednost $u - v = 25$ iz druge jednačine u prvu.

25(u + v) = 725

Delimo jednačinu sa 25 kako bismo dobili zbir $u + v .$

u + v = \frac{725}{25} = 29

Sada imamo jednostavan sistem linearnih jednačina po $u$ i $v .$

\begin{cases} u - v = 25 \\ u + v = 29 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine računamo vrednost za $u .$

2u = 54 \implies u = 27

Oduzimanjem prve jednačine od druge dobijamo vrednost za $v .$

2v = 4 \implies v = 2

Vraćamo uvedene smene $u = 3^x$ i $v = 2^{y/2} .$

\begin{cases} 3^x = 27 \\ 2^{y/2} = 2 \end{cases}

Rešavamo prvu eksponencijalnu jednačinu tako što obe strane svodimo na istu osnovu.

3^x = 3^3 \implies x = 3

Rešavamo drugu eksponencijalnu jednačinu na isti način.

2^{y/2} = 2^1 \implies \frac{y}{2} = 1 \implies y = 2

Konačno rešenje sistema je uređeni par $(x, y) .$

(x, y) = (3, 2)

489.a