2032. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Prvo transformišemo jednačine koristeći pravila za stepenovanje $a^{n+m} = a^n \cdot a^m .$ Sistem postaje:

\begin{cases} 3 \cdot 3^x - 2^y = \frac{17}{2} \\ 3^x + 2 \cdot 2^y = 4 \end{cases}

Uvodimo smene $u = 3^x$ i $v = 2^y ,$ gde su $u > 0$ i $v > 0 .$ Dobijamo linearni sistem po $u$ i $v :$

\begin{cases} 3u - v = \frac{17}{2} \\ u + 2v = 4 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $u :$

u = 4 - 2v

Zamenjujemo izraz za $u$ u prvu jednačinu:

3(4 - 2v) - v = \frac{17}{2}

Sređujemo jednačinu po $v :$

12 - 6v - v = \frac{17}{2} \implies 12 - 7v = \frac{17}{2}

Računamo vrednost za $v :$

7v = 12 - \frac{17}{2} \implies 7v = \frac{24 - 17}{2} \implies 7v = \frac{7}{2} \implies v = \frac{1}{2}

Sada računamo $u$ koristeći dobijenu vrednost za $v :$

u = 4 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3

Vraćamo smene da bismo pronašli $x$ i $y :$

\begin{cases} 3^x = 3 \\ 2^y = \frac{1}{2} \end{cases}

Rešavamo po $x$ i $y :$

\begin{cases} 3^x = 3^1 \implies x = 1 \\ 2^y = 2^{-1} \implies y = -1 \end{cases}

Konačno rešenje sistema je uređeni par:

(x, y) = (1, -1)

2032.Eksponencijalne jednačine i nejednačine