Jednačina sa stepenima osnova 3, 9 i 27

Svedimo sve osnove na osnovu 3. Znamo da je $9 = 3^2$ i $27 = 3^3 .$

3^{2x-3} - (3^2)^{x-1} + (3^3)^{\frac{2x}{3}} = 675

Primenimo pravilo za stepenovanje stepena $(a^m)^n = a^{m \cdot n} .$

3^{2x-3} - 3^{2(x-1)} + 3^{3 \cdot \frac{2x}{3}} = 675

Sredimo izložioce množenjem.

3^{2x-3} - 3^{2x-2} + 3^{2x} = 675

Rastavimo stepene koristeći pravilo $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ kako bismo izdvojili zajednički faktor.

3^{2x} \cdot 3^{-3} - 3^{2x} \cdot 3^{-2} + 3^{2x} = 675

Izvučimo zajednički faktor $3^{2x}$ ispred zagrade.

3^{2x} (3^{-3} - 3^{-2} + 1) = 675

Zapišimo stepene sa negativnim izložiocem kao razlomke, koristeći pravilo $a^{-n} = \frac{1}{a^n} .$

3^{2x} \left( \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + 1 \right) = 675

Saberimo razlomke u zagradi tako što ćemo ih svesti na zajednički imenilac (27).

3^{2x} \left( \frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{27}{27} \right) = 675

Računamo vrednost izraza u zagradi.

3^{2x} \cdot \frac{25}{27} = 675

Pomnožimo celu jednačinu sa $\frac{27}{25}$ kako bismo izrazili $3^{2x} .$

3^{2x} = 675 \cdot \frac{27}{25}

Skratimo 675 sa 25 (pošto je $675 = 25 \cdot 27$ ).

3^{2x} = 27 \cdot 27

Zapišimo desnu stranu kao stepen osnove 3.

3^{2x} = 3^3 \cdot 3^3

Primenimo pravilo za množenje stepena istih osnova $a^m \cdot a^n = a^{m+n} .$

3^{2x} = 3^6

Pošto su osnove jednake, možemo izjednačiti izložioce.

2x = 6

Rešimo jednačinu po $x .$

x = 3

487.g