3384. Deljivost celih brojeva

TEKST ZADATKA

Odrediti poslednju cifru broja:

52^{102}

REŠENJE ZADATKA

Poslednja cifra stepena nekog broja zavisi isključivo od poslednje cifre njegove osnove. Zato je poslednja cifra broja $52^{102}$ ista kao poslednja cifra broja $2^{102} .$

Posmatrajmo poslednje cifre prvih nekoliko stepena broja 2:

\begin{aligned} 2^1 &= 2 \\ 2^2 &= 4 \\ 2^3 &= 8 \\ 2^4 &= 16 \\ 2^5 &= 32 \end{aligned}

Primećujemo da se poslednje cifre ponavljaju u ciklusu dužine 4: 2, 4, 8, 6.

Da bismo odredili poslednju cifru broja $2^{102} ,$ delimo izložilac 102 sa 4 i tražimo ostatak.

102 = 4 \cdot 25 + 2

Pošto je ostatak pri deljenju 2, poslednja cifra broja $2^{102}$ je ista kao poslednja cifra broja $2^2 .$

2^2 = 4

Dakle, poslednja cifra broja $52^{102}$ je 4.

169.v