3373.

169.d

TEKST ZADATKA

Odrediti poslednju cifru broja: 4499 44^{99} ;

REŠENJE ZADATKA

Poslednja cifra stepena nekog broja zavisi isključivo od poslednje cifre njegove osnove. Zato je poslednja cifra broja 4499 44^{99} ista kao i poslednja cifra broja 499. 4^{99} .

Da bismo odredili poslednju cifru broja 499, 4^{99} , posmatraćemo poslednje cifre prvih nekoliko stepena broja 4 kako bismo uočili pravilo.

Računamo prva četiri stepena broja 4:

41=442=1643=6444=256\begin{aligned} 4^1 &= 4 \\ 4^2 &= 16 \\ 4^3 &= 64 \\ 4^4 &= 256 \end{aligned}

Primećujemo da se poslednje cifre naizmenično ponavljaju u nizu 4, 6, 4, 6... Možemo izvesti sledeće pravilo: ako je izložilac neparan broj, poslednja cifra je 4, a ako je izložilac paran broj, poslednja cifra je 6.

U našem slučaju, izložilac je broj 99. Svaki neparan broj se pri deljenju sa 2 može zapisati sa ostatkom 1, odnosno u obliku 2k+1 2k + 1 gde je k k ceo broj.

99=2⋅49+199 = 2 \cdot 49 + 1

Pošto je 99 neparan broj, primenjujemo uočeno pravilo. Zaključujemo da je poslednja cifra broja 4499 44^{99} jednaka 4.