3373. Deljivost celih brojeva

TEKST ZADATKA

Odrediti poslednju cifru broja: $44^{99}$ ;

REŠENJE ZADATKA

Poslednja cifra stepena nekog broja zavisi isključivo od poslednje cifre njegove osnove. Zato je poslednja cifra broja $44^{99}$ ista kao i poslednja cifra broja $4^{99} .$

Da bismo odredili poslednju cifru broja $4^{99} ,$ posmatraćemo poslednje cifre prvih nekoliko stepena broja 4 kako bismo uočili pravilo.

Računamo prva četiri stepena broja 4:

\begin{aligned} 4^1 &= 4 \\ 4^2 &= 16 \\ 4^3 &= 64 \\ 4^4 &= 256 \end{aligned}

Primećujemo da se poslednje cifre naizmenično ponavljaju u nizu 4, 6, 4, 6... Možemo izvesti sledeće pravilo: ako je izložilac neparan broj, poslednja cifra je 4, a ako je izložilac paran broj, poslednja cifra je 6.

U našem slučaju, izložilac je broj 99. Svaki neparan broj se pri deljenju sa 2 može zapisati sa ostatkom 1, odnosno u obliku $2k + 1$ gde je $k$ ceo broj.

99 = 2 \cdot 49 + 1

Pošto je 99 neparan broj, primenjujemo uočeno pravilo. Zaključujemo da je poslednja cifra broja $44^{99}$ jednaka 4.

169.d