3385. Deljivost celih brojeva

TEKST ZADATKA

Odrediti poslednju cifru broja: $83^{105}$ ;

REŠENJE ZADATKA

Poslednja cifra stepena nekog broja zavisi isključivo od poslednje cifre njegove osnove. Zato je poslednja cifra broja $83^{105}$ ista kao i poslednja cifra broja $3^{105} .$

Posmatrajmo poslednje cifre prvih nekoliko stepena broja 3:

\begin{aligned} 3^1 &= 3 \text{ (poslednja cifra je 3)} \\ 3^2 &= 9 \text{ (poslednja cifra je 9)} \\ 3^3 &= 27 \text{ (poslednja cifra je 7)} \\ 3^4 &= 81 \text{ (poslednja cifra je 1)} \\ 3^5 &= 243 \text{ (poslednja cifra je 3)} \end{aligned}

Primećujemo da se poslednje cifre ponavljaju u ciklusu od četiri cifre: 3, 9, 7, 1.

Da bismo odredili poslednju cifru broja $3^{105} ,$ potrebno je da izložilac 105 podelimo dužinom ciklusa, odnosno brojem 4, i nađemo ostatak.

105 = 4 \cdot 26 + 1

Pošto je ostatak pri deljenju 1, poslednja cifra broja $3^{105}$ je ista kao i poslednja cifra broja $3^1 ,$ a to je 3. Prema tome, poslednja cifra broja $83^{105}$ je 3.

169.g