6403. Binomna formula | Balkan Tutor

Koristimo Muavrovu formulu $(\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha :$ pri množenju kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku argumenti se sabiraju, pa se $n$ -tim stepenovanjem argument $\alpha$ množi sa $n .$ Za $n=6 :$

\cos6\alpha+i\sin6\alpha=(\cos\alpha+i\sin\alpha)^6

Desnu stranu razvijamo kao u delu a), sa $a=\cos\alpha$ i $b=\sin\alpha$ (skraćeno $c=\cos\alpha ,$ $s=\sin\alpha$ ):

(c+is)^6=c^6-15c^4s^2+15c^2s^4-s^6+i\left(6c^5s-20c^3s^3+6cs^5\right)

Dva kompleksna broja su jednaka kada su im jednaki realni i imaginarni delovi. Izjednačavanjem dobijamo:

\begin{aligned}\cos6\alpha&=\cos^6\alpha-15\cos^4\alpha\sin^2\alpha+15\cos^2\alpha\sin^4\alpha-\sin^6\alpha\\\sin6\alpha&=6\cos^5\alpha\sin\alpha-20\cos^3\alpha\sin^3\alpha+6\cos\alpha\sin^5\alpha\end{aligned}

Provera za $\alpha=\frac\pi6$ ( $c=\frac{\sqrt3}2 ,$ $s=\frac12$ ): $\frac{27}{64}-15\cdot\frac9{16}\cdot\frac14+15\cdot\frac34\cdot\frac1{16}-\frac1{64}=\frac{27-135+45-1}{64}=-1=\cos\pi .$

Dakle, $\cos6\alpha=\cos^6\alpha-15\cos^4\alpha\sin^2\alpha+15\cos^2\alpha\sin^4\alpha-\sin^6\alpha$ i $\sin6\alpha=6\cos^5\alpha\sin\alpha-20\cos^3\alpha\sin^3\alpha+6\cos\alpha\sin^5\alpha .$

Započni učenje

Privatni časovi

526.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci