Aritmetički niz: dokaz sa 1/(b + c) i a na kvadrat

TEKST ZADATKA

Neka su $a, b, c$ realni brojevi takvi da je $(b+c)(c+a)(a+b)\not = 0.$ Dokazati da su brojevi $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ uzastopni članovi aritmetičkog niza ako i samo ako su brojevi $a^2, b^2, c^2$ uzastopni članovi aritmetičkog niza.

REŠENJE ZADATKA

Da bi brojevi $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ bili uzastopni članovi niza mora da važi jednakost:

\frac{1}{c+a}=\frac{1}{2}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b})

Srediti izraz:

\frac{1}{a+c}=\frac{1}{2}\frac{a+b+b+c}{(b+c)(a+b)}

\frac{1}{a+c}=\frac{a+2b+c}{2(b+c)(a+b)}\rArr 2(b+c)(a+b)=(a+c)(a+2b+c)

2(ab+b^2+ca+cb)=a^2+2ab+ac+ac+2bc+c^2

\cancel{2ab}+2b^2+\cancel{2ac}+\cancel{2bc}=a^2+\cancel{2ab}+\cancel{2ac}+c^2

2b^2=a^2+c^2 \rArr b^2=\frac{a^2+c^2}{2}

Započni učenje

Online časovi

19. Aritmetički niz

Beleške