798.

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Sledeći kompleksni broj zapisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku.

z=−3−iz=-\sqrt3-i
REŠENJE ZADATKA

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja z=x+iyz=x+iy odrediti xx i y.y.

x=−3y=−1x=-\sqrt3 \\ y=-1

Odrediti moduo broja zz po formuli ∣z∣=x2+y2.|z|=\sqrt{x^2+y^2}.

∣z∣=(−3)2+(−1)2=2|z|=\sqrt{(-\sqrt3)^2+(-1)^2}=2

Ugao φ\varphi odrediti po formuli tg⁡φ=∣yx∣.\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.

tg⁡φ=∣−1−3∣=13  ⟹  φ=π6\tg{\varphi} = |\frac{-1}{-\sqrt{3}}|=\frac{1}{\sqrt{3}} \implies \varphi=\frac{\pi}{6}

Pošto je x<0x<0 i y<0y<0 kompleksni broj zz se nalazi u trećem kvadratnu, pa je arg(z)=−(π−φ).\text{arg}(z)=-(\pi-\varphi).

φ=−(π−π6)=−5π6\varphi=-(\pi-\frac{\pi}{6})=-\frac{5\pi}{6}

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: z=∣z∣⋅(cos⁡(arg(z))+isin⁡(arg(z))).z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).

z=2 (cos⁡(−5π6)+isin⁡(−5π6))z=2\ \bigg(\cos{(-\frac{5\pi}{6}})+ i\sin{(-\frac{5\pi}{6}})\bigg)

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: z=∣z∣⋅earg(z)⋅i.z=|z|\cdot e^{\text{arg}(z) \cdot i}.

z=2 e−5π6⋅iz=2 \ e^{-\frac{5\pi}{6} \cdot i}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti