Proizvod kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

TEKST ZADATKA

Odrediti proizvod brojeva:

z_1=2\bigg(\cos\frac{\pi}3+i\sin\frac{\pi}3\bigg) \\ z_2=5\bigg(\cos\bigg(-\frac{\pi}4\bigg)+i\sin\bigg(-\frac{\pi}4\bigg)\bigg)

REŠENJE ZADATKA

Kako trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi: $z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}),$ moguće je odrediti moduo brojeva $z_1$ i $z_2,$ tj. $|z_1|$ i $|z_2|.$

|z_1|=2 \\ |z_2|=5

Odrediti proizvod brojeva $|z_1|$ i $|z_2|.$

|z_1z_2|=2\cdot5=10

Kako trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi: $z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}),$ moguće je odrediti uglove koji vektori brojeva $z_1$ i $z_2$ zaklapaju sa pozitivnim smerom realne ose.

\varphi_1=\frac{\pi}{3} \\ \varphi_2=-\frac{\pi}{4}

Argument proizvoda brojeva $z_1$ i $z_2$ je zbir uglova $\varphi_1$ i $\varphi_2.$

\varphi_1+\varphi_2=\frac{\pi}3-\frac{\pi}4=\frac{\pi}{12}

Sledi da je:

z_1z_2=10\bigg(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\bigg)

Započni učenje

Online časovi

$z_1=2\big(\cos\frac{\pi}3+i\sin\frac{\pi}3\big), \ z_2=5\big(\cos$

Beleške

z1=2(cos⁡π3+isin⁡π3), z2=5(cos⁡z_1=2\big(\cos\frac{\pi}3+i\sin\frac{\pi}3\big), \ z_2=5\big(\cosz1​=2(cos3π​+isin3π​), z2​=5(cos

$z_1=2\big(\cos\frac{\pi}3+i\sin\frac{\pi}3\big), \ z_2=5\big(\cos$