Eksponencijalni oblik kompleksnog broja -√3 - i

TEKST ZADATKA

Sledeći kompleksni broj zapisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku.

z=-\sqrt3-i

REŠENJE ZADATKA

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x$ i $y.$

x=-\sqrt3 \\ y=-1

Odrediti moduo broja $z$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|z|=\sqrt{(-\sqrt3)^2+(-1)^2}=2

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac{-1}{-\sqrt{3}}|=\frac{1}{\sqrt{3}} \implies \varphi=\frac{\pi}{6}

Pošto je $x<0$ i $y<0$ kompleksni broj $z$ se nalazi u trećem kvadratnu, pa je $\text{arg}(z)=-(\pi-\varphi).$

\varphi=-(\pi-\frac{\pi}{6})=-\frac{5\pi}{6}

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).$

z=2\ \bigg(\cos{(-\frac{5\pi}{6}})+ i\sin{(-\frac{5\pi}{6}})\bigg)

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot e^{\text{arg}(z) \cdot i}.$

z=2 \ e^{-\frac{5\pi}{6} \cdot i}

$-\sqrt3-i$