797. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja

Sledeći kompleksni broj zapisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku.

z=2-2i

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x$ i $y.$

x=2\\ y=-2

Odrediti moduo broja $z$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|z|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt2

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac{-2}{2}|=1 \implies \varphi=\frac{\pi}{4}

Pošto je $x>0$ i $y<0$ kompleksni broj $z$ se nalazi u četvrtom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=-\varphi.$

\varphi=-\frac{\pi}{4}

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).$

z=2\sqrt2\ \bigg(\cos{(-\frac{\pi}{4}})+ i\sin{(-\frac{\pi}{4}})\bigg)

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot e^{\text{arg}(z) \cdot i}.$

z=2\sqrt2 \ e^{-\frac{\pi}{4} \cdot i}

797.Trigonometrijski i eksponencijalni oblik