790. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja

Sledeći kompleksni broj zapisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku.

z=-2+2\sqrt{3}i

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x$ i $y.$

x=-2\\ y=2\sqrt{3}

Odrediti moduo broja $z$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|z| = \sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac{2\sqrt{3}}{-2}|=\sqrt{3} \implies \varphi=\frac{\pi}{3}

Pošto su $x<0$ i $y>0$ kompleksni broj $z$ se nalazi u drugom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=\pi-\varphi.$

\text{arg}(z)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).$

z=4 \ (\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}})

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot e^{\text{arg}(z) \cdot i}.$

z=4 \ e^{\frac{2\pi}{3}i}

790.Trigonometrijski i eksponencijalni oblik