789. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja

Sledeći kompleksni broj zapisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku.

z=3+3i

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x$ i $y.$

x=3 \\ y=3

Odrediti moduo broja $z$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|z|=\sqrt{3^2+3^2}= 3\sqrt{2}

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac{3}{3}|=1 \implies \varphi=\frac{\pi}{4}

Pošto su $x>0$ i $y>0$ kompleksni broj $z$ se nalazi u prvom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=\varphi.$

\text{arg}(z)=\frac{\pi}{4}

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).$

z=3\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot e^{\text{arg}(z) \cdot i}.$

z=3\sqrt{2} \ e^{\frac{\pi}{4}i}

789.Trigonometrijski i eksponencijalni oblik