2019.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ako je tg α+ctg α=3, \text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha = 3 , odrediti vrednost izraza tg2 α−ctg2 α. \text{tg}^2 \, \alpha - \text{ctg}^2 \, \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je traženi izraz razlika kvadrata, koju možemo rastaviti na činioce:

tg2 α−ctg2 α=(tg α+ctg α)(tg α−ctg α)\text{tg}^2 \, \alpha - \text{ctg}^2 \, \alpha = (\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha)(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)

Vrednost prvog činioca je data u zadatku: tg α+ctg α=3. \text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha = 3 . Da bismo pronašli vrednost drugog činioca, prvo ćemo kvadrirati izraz za razliku:

(tg α−ctg α)2=tg2 α−2tg αctg α+ctg2 α(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = \text{tg}^2 \, \alpha - 2 \text{tg} \, \alpha \text{ctg} \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha

Znamo da je tg α⋅ctg α=1, \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1 , pa izraz postaje:

(tg α−ctg α)2=tg2 α+ctg2 α−2(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = \text{tg}^2 \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha - 2

Sada ćemo kvadrirati datu jednakost tg α+ctg α=3 \text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha = 3 kako bismo dobili vrednost tg2 α+ctg2 α: \text{tg}^2 \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha :

(tg α+ctg α)2=32tg2 α+2tg αctg α+ctg2 α=9tg2 α+2(1)+ctg2 α=9tg2 α+ctg2 α=7(\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha)^2 = 3^2 \\ \text{tg}^2 \, \alpha + 2 \text{tg} \, \alpha \text{ctg} \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha = 9 \\ \text{tg}^2 \, \alpha + 2(1) + \text{ctg}^2 \, \alpha = 9 \\ \text{tg}^2 \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha = 7

Vraćamo se na kvadrat razlike i menjamo dobijenu vrednost:

(tg α−ctg α)2=7−2=5(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = 7 - 2 = 5

Odavde sledi da je razlika:

tg α−ctg α=±5\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha = \pm \sqrt{5}

Konačno, računamo vrednost početnog izraza množenjem poznatih činilaca:

tg2 α−ctg2 α=3⋅(±5)=±35\text{tg}^2 \, \alpha - \text{ctg}^2 \, \alpha = 3 \cdot (\pm \sqrt{5}) = \pm 3\sqrt{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti