2025.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ako je sin⁡x+cos⁡x=s \sin x + \cos x = s i sin⁡xcos⁡x=p, \sin x \cos x = p , pokazati da važi p=12(s2−1). p = \frac{1}{2}(s^2 - 1) .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od date jednakosti za zbir sinusa i kosinusa i kvadriramo obe strane jednačine:

(sin⁡x+cos⁡x)2=s2(\sin x + \cos x)^2 = s^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 na levu stranu jednačine:

sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=s2\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = s^2

Grupisemo članove i koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 :

(sin⁡2x+cos⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=s2(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x = s^2

Zamenjujemo vrednost osnovnog identiteta i uvodimo datu oznaku sin⁡xcos⁡x=p: \sin x \cos x = p :

1+2p=s21 + 2p = s^2

Sada izražavamo p p iz dobijene jednačine. Prvo prebacujemo jedinicu na desnu stranu:

2p=s2−12p = s^2 - 1

Deljenjem cele jednačine sa 2 dobijamo traženi izraz:

p=12(s2−1)p = \frac{1}{2}(s^2 - 1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti