2085.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

sin⁡2α−cos⁡2α+cos⁡4αcos⁡2α−sin⁡2α+sin⁡4α\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha}
REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo prvo brojilac datog izraza. Grupisaćemo drugi i treći član i izvući zajednički faktor −cos⁡2α. -\cos^2 \alpha .

sin⁡2α−cos⁡2α+cos⁡4α=sin⁡2α−cos⁡2α(1−cos⁡2α)\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , znamo da je 1−cos⁡2α=sin⁡2α. 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha . Zamenićemo ovo u izraz.

sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2α\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha

Sada možemo izvući zajednički faktor sin⁡2α \sin^2 \alpha iz oba člana u brojiocu.

sin⁡2α(1−cos⁡2α)\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)

Ponovo primenjujemo isti identitet 1−cos⁡2α=sin⁡2α 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha i dobijamo konačan oblik brojioca.

sin⁡2α⋅sin⁡2α=sin⁡4α\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = \sin^4 \alpha

Sada posmatrajmo imenilac. Slično kao kod brojioca, grupisaćemo drugi i treći član i izvući zajednički faktor −sin⁡2α. -\sin^2 \alpha .

cos⁡2α−sin⁡2α+sin⁡4α=cos⁡2α−sin⁡2α(1−sin⁡2α)\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)

Iz osnovnog identiteta sledi da je 1−sin⁡2α=cos⁡2α. 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha . Zamenjujemo to u imenilac.

cos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Izvlačimo zajednički faktor cos⁡2α \cos^2 \alpha iz oba člana u imeniocu.

cos⁡2α(1−sin⁡2α)\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)

Ponovo primenjujemo identitet 1−sin⁡2α=cos⁡2α 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha i dobijamo konačan oblik imenioca.

cos⁡2α⋅cos⁡2α=cos⁡4α\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \cos^4 \alpha

Vraćamo uprošćeni brojilac i imenilac u početni razlomak.

sin⁡4αcos⁡4α\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha}

Koristeći definiciju tangensa tg⁡α=sin⁡αcos⁡α, \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , izraz možemo zapisati kao stepen tangensa, čime dobijamo konačan rezultat.

tg⁡4α\tg^4 \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti