Podeli

2742.
Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

REŠENJE ZADATKA

Transformišimo funkciju u pogodniji oblik za ispitivanje. Koristimo formulu za polovinu ugla $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x .$

f(x) = 1 + \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x

Izvlačimo 2 ispred zagrade kako bismo primenili adicionu formulu.

f(x) = 1 + 2 \left( \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x \right)

Prepoznajemo vrednosti sinusa i kosinusa za ugao $\frac{\pi}{6}$ i primenjujemo formulu za sinus zbira.

f(x) = 1 + 2 \left( \sin \frac{\pi}{6} \cos 2x + \cos \frac{\pi}{6} \sin 2x \right) = 1 + 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)

1. Domen funkcije: Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R}

2. Periodičnost: Funkcija je periodična. Osnovni period određujemo iz koeficijenta uz $x$ u argumentu sinusa.

T = \frac{2\pi}{2} = \pi

3. Parnost: Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna.

f(-x) = 1 + 2 \sin\left(-2x + \frac{\pi}{6}\right) \neq \pm f(x)

Zaključujemo da funkcija nije ni parna ni neparna.

4. Nule funkcije: Rešavamo jednačinu $f(x) = 0 .$

1 + 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}

Rešenja ove trigonometrijske jednačine su:

2x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo $x$ iz obe jednačine.

x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad \lor \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Presek sa y-osom: Računamo vrednost funkcije za $x = 0 .$

f(0) = 1 + 2 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2

5. Znak funkcije: Funkcija je pozitivna kada je $f(x) > 0 ,$ odnosno $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{2} .$

-\frac{\pi}{6} + 2k\pi < 2x + \frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavanjem nejednačine dobijamo intervale u kojima je funkcija pozitivna.

x \in \left( -\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna na preostalim intervalima unutar perioda.

f(x) < 0 \quad \text{za} \quad x \in \left( \frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

6. Asimptote: Funkcija je neprekidna na celom domenu i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

7. Prvi izvod, monotonost i ekstremi: Računamo prvi izvod funkcije.

f'(x) = \left( 1 + 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \right)' = 2 \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot 2 = 4 \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

4 \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo po $x .$

2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Za $k = 2m$ (parne brojeve) imamo maksimume, a za $k = 2m+1$ (neparne brojeve) minimume. Vrednosti funkcije u tim tačkama su:

f_{max} = 3 \quad \text{za} \quad x = \frac{\pi}{6} + m\pi, \quad f_{min} = -1 \quad \text{za} \quad x = \frac{2\pi}{3} + m\pi

Funkcija raste kada je $f'(x) > 0 ,$ odnosno $\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) > 0 .$

-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x \in \left( -\frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi \right)

Funkcija opada kada je $f'(x) < 0 .$

x \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{2\pi}{3} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

8. Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke: Računamo drugi izvod.

f''(x) = (4 \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right))' = -8 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom da bismo našli prevojne tačke.

-8 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies 2x + \frac{\pi}{6} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo po $x .$

x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna (okrenuta na gore) kada je $f''(x) > 0 ,$ odnosno $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) < 0 .$

x \in \left( \frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{11\pi}{12} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole) kada je $f''(x) < 0 .$

x \in \left( -\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{5\pi}{12} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Na osnovu svih ispitanih svojstava, može se nacrtati grafik funkcije.

2742.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija