2743.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 837-845): f(x)=−cos⁡2x. f(x) = -\cos 2x .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Funkcija kosinus je definisana za sve realne brojeve.

D=Rilix∈(−∞,+∞)D = \mathbb{R} \quad \text{ili} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Ispitujemo periodičnost funkcije. Funkcija je periodična ako postoji broj T>0 T > 0 takav da važi f(x+T)=f(x). f(x+T) = f(x) .

−cos⁡(2(x+T))=−cos⁡(2x+2T)-\cos(2(x+T)) = -\cos(2x+2T)

Kosinus je periodična funkcija sa osnovnim periodom 2π, 2\pi , pa mora važiti:

2T=2π  ⟹  T=π2T = 2\pi \implies T = \pi

Osnovni period funkcije je T=π. T = \pi . Zbog toga je dovoljno ispitati funkciju na intervalu dužine π, \pi , na primer [0,π]. [0, \pi] .

Ispitujemo parnost funkcije proverom uslova f(−x)=f(x) f(-x) = f(x) ili f(−x)=−f(x). f(-x) = -f(x) .

f(−x)=−cos⁡(2(−x))=−cos⁡(−2x)=−cos⁡(2x)=f(x)f(-x) = -\cos(2(-x)) = -\cos(-2x) = -\cos(2x) = f(x)

Pošto je f(−x)=f(x), f(-x) = f(x) , funkcija je parna. Njen grafik je simetričan u odnosu na y-osu.

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine f(x)=0. f(x) = 0 .

−cos⁡2x=0  ⟹  cos⁡2x=0-\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = 0

Rešavamo trigonometrijsku jednačinu:

2x=π2+kπ  ⟹  x=π4+kπ2,k∈Z2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na posmatranom intervalu [0,π], [0, \pi] , nule funkcije se dobijaju za k=0 k=0 i k=1. k=1 .

x1=π4,x2=3π4x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{3\pi}{4}

Određujemo presek sa y-osom računajući vrednost funkcije za x=0. x = 0 .

f(0)=−cos⁡(2⋅0)=−cos⁡0=−1f(0) = -\cos(2 \cdot 0) = -\cos 0 = -1

Određujemo znak funkcije na intervalu [0,π]. [0, \pi] . Funkcija je pozitivna kada je f(x)>0. f(x) > 0 .

−cos⁡2x>0  ⟹  cos⁡2x<0-\cos 2x > 0 \implies \cos 2x < 0

Za x∈[0,π], x \in [0, \pi] , argument 2x 2x pripada intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] . Kosinus je negativan u drugom i trećem kvadrantu.

2x∈(π2,3π2)  ⟹  x∈(π4,3π4)2x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) \implies x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right)

Dakle, funkcija je pozitivna na intervalu (π4,3π4), (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}) , a negativna na [0,π4)∪(3π4,π]. [0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi] .

Računamo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i našli ekstremne vrednosti.

f′(x)=−(−sin⁡2x)⋅(2x)′=2sin⁡2xf'(x) = -(-\sin 2x) \cdot (2x)' = 2\sin 2x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli kritične tačke.

2sin⁡2x=0  ⟹  sin⁡2x=02\sin 2x = 0 \implies \sin 2x = 0

Rešavamo jednačinu na intervalu [0,π] [0, \pi] (tada 2x∈[0,2π] 2x \in [0, 2\pi] ).

2x=0,  2x=π,  2x=2π  ⟹  x=0,  x=π2,  x=π2x = 0, \; 2x = \pi, \; 2x = 2\pi \implies x = 0, \; x = \frac{\pi}{2}, \; x = \pi

Analiziramo znak prvog izvoda na intervalu [0,π]. [0, \pi] .

x∈(0,π2)  ⟹  2x∈(0,π)  ⟹  sin⁡2x>0  ⟹  f′(x)>0(funkcija raste)x∈(π2,π)  ⟹  2x∈(π,2π)  ⟹  sin⁡2x<0  ⟹  f′(x)<0(funkcija opada)\begin{aligned} &x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \implies 2x \in (0, \pi) \implies \sin 2x > 0 \implies f'(x) > 0 \quad \text{(funkcija raste)} \\ &x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \implies 2x \in (\pi, 2\pi) \implies \sin 2x < 0 \implies f'(x) < 0 \quad \text{(funkcija opada)} \end{aligned}

Na osnovu promene znaka prvog izvoda, zaključujemo da funkcija ima lokalni maksimum u tački x=π2. x = \frac{\pi}{2} .

f(π2)=−cos⁡(2⋅π2)=−cos⁡π=−(−1)=1f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -\cos \pi = -(-1) = 1

Tačka maksimuma je M(π2,1). M\left(\frac{\pi}{2}, 1\right) . Minimumi na posmatranom intervalu su na krajevima, u x=0 x=0 i x=π, x=\pi , sa vrednošću −1. -1 .

Računamo drugi izvod funkcije kako bismo ispitali konveksnost i našli prevojne tačke.

f′′(x)=(2sin⁡2x)′=2⋅cos⁡2x⋅2=4cos⁡2xf''(x) = (2\sin 2x)' = 2 \cdot \cos 2x \cdot 2 = 4\cos 2x

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom.

4cos⁡2x=0  ⟹  cos⁡2x=04\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = 0

Rešenja ove jednačine su ista kao i nule funkcije.

x=π4+kπ2,k∈Zx = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Analiziramo znak drugog izvoda na intervalu [0,π]. [0, \pi] .

x∈(0,π4)∪(3π4,π)  ⟹  f′′(x)>0(funkcija je konveksna, ∪)x∈(π4,3π4)  ⟹  f′′(x)<0(funkcija je konkavna, ∩)\begin{aligned} &x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) \implies f''(x) > 0 \quad \text{(funkcija je konveksna, } \cup) \\ &x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies f''(x) < 0 \quad \text{(funkcija je konkavna, } \cap) \end{aligned}

Prevojne tačke su tačke u kojima drugi izvod menja znak, a to su upravo nule funkcije na ovom intervalu.

P1(π4,0),P2(3π4,0)P_1\left(\frac{\pi}{4}, 0\right), \quad P_2\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)

Funkcija je definisana i neprekidna na celom skupu realnih brojeva, pa nema vertikalnih asimptota. Takođe, kao periodična funkcija, nema ni horizontalne ni kose asimptote.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti