2741.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije:

f(x)=sec⁡xf(x) = \sec x
REŠENJE ZADATKA

Zapišimo funkciju preko kosinusa:

f(x)=1cos⁡xf(x) = \frac{1}{\cos x}

Domen funkcije: Funkcija je definisana za sve realne brojeve osim onih za koje je imenilac jednak nuli. Rešavamo jednačinu:

cos⁡x=0\cos x = 0

Rešenja ove jednačine su:

x=π2+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Domen funkcije je:

Df=R∖{π2+kπ∣k∈Z}D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Parnost i periodičnost: Ispitujemo parnost funkcije:

f(−x)=1cos⁡(−x)=1cos⁡x=f(x)f(-x) = \frac{1}{\cos(-x)} = \frac{1}{\cos x} = f(x)

Pošto je f(−x)=f(x), f(-x) = f(x) , funkcija je parna. Zbog toga je grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Ispitujemo periodičnost. Pošto je osnovni period funkcije cos⁡x \cos x jednak 2π, 2\pi , osnovni period funkcije f(x) f(x) je takođe:

T=2πT = 2\pi

Nule i presek sa y-osom: Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine f(x)=0: f(x) = 0 :

1cos⁡x=0\frac{1}{\cos x} = 0

Ova jednačina nema rešenja, pa funkcija nema nule.

Tražimo presek sa y-osom računajući f(0): f(0) :

f(0)=1cos⁡0=11=1f(0) = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1

Znak funkcije: Znak funkcije zavisi isključivo od znaka imenioca, odnosno funkcije cos⁡x. \cos x . Zbog periodičnosti, analiziramo znak na intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] .

Na osnovnom periodu, funkcija je pozitivna (f(x)>0 f(x) > 0 ) kada je cos⁡x>0: \cos x > 0 :

x∈[0,π2)∪(3π2,2π]x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]

Funkcija je negativna (f(x)<0 f(x) < 0 ) kada je cos⁡x<0: \cos x < 0 :

x∈(π2,3π2)x \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)

Asimptote: Funkcija nema horizontalne ni kose asimptote jer je periodična. Vertikalne asimptote se nalaze u tačkama prekida:

x=π2+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo ponašanje funkcije u okolini vertikalne asimptote x=π2: x = \frac{\pi}{2} :

lim⁡x→π2−1cos⁡x=+∞,lim⁡x→π2+1cos⁡x=−∞\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{1}{\cos x} = +\infty, \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\cos x} = -\infty

Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti: Računamo prvi izvod funkcije:

f′(x)=((cos⁡x)−1)′=−1⋅(cos⁡x)−2⋅(−sin⁡x)=sin⁡xcos⁡2xf'(x) = \left( (\cos x)^{-1} \right)' = -1 \cdot (\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke:

sin⁡xcos⁡2x=0  ⟹  sin⁡x=0\frac{\sin x}{\cos^2 x} = 0 \implies \sin x = 0

Rešenja na intervalu [0,2π] [0, 2\pi] su:

x=0,x=π,x=2πx = 0, \quad x = \pi, \quad x = 2\pi

Analiziramo znak prvog izvoda. Pošto je imenilac cos⁡2x>0 \cos^2 x > 0 (za x≠π2+kπ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi ), znak prvog izvoda zavisi samo od brojioca sin⁡x. \sin x .

Na intervalu (0,π)∖{π2} (0, \pi) \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\} je sin⁡x>0, \sin x > 0 , pa je f′(x)>0 f'(x) > 0 i funkcija raste.

Na intervalu (π,2π)∖{3π2} (\pi, 2\pi) \setminus \left\{\frac{3\pi}{2}\right\} je sin⁡x<0, \sin x < 0 , pa je f′(x)<0 f'(x) < 0 i funkcija opada.

U tački x=π x = \pi funkcija prelazi iz rastuće u opadajuću, pa tu ima lokalni maksimum. Vrednost funkcije u toj tački je:

f(π)=1cos⁡π=−1f(\pi) = \frac{1}{\cos \pi} = -1

U tačkama x=0 x = 0 i x=2π x = 2\pi funkcija ima lokalni minimum (uzimajući u obzir periodičnost), sa vrednošću:

f(0)=f(2π)=1f(0) = f(2\pi) = 1

Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke: Računamo drugi izvod funkcije:

f′′(x)=(sin⁡xcos⁡2x)′=cos⁡x⋅cos⁡2x−sin⁡x⋅2cos⁡x(−sin⁡x)cos⁡4xf''(x) = \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right)' = \frac{\cos x \cdot \cos^2 x - \sin x \cdot 2\cos x (-\sin x)}{\cos^4 x}

Sređujemo izraz za drugi izvod:

f′′(x)=cos⁡3x+2sin⁡2xcos⁡xcos⁡4x=cos⁡2x+2sin⁡2xcos⁡3xf''(x) = \frac{\cos^3 x + 2\sin^2 x \cos x}{\cos^4 x} = \frac{\cos^2 x + 2\sin^2 x}{\cos^3 x}

Koristeći identitet cos⁡2x+sin⁡2x=1, \cos^2 x + \sin^2 x = 1 , brojilac možemo zapisati kao 1+sin⁡2x: 1 + \sin^2 x :

f′′(x)=1+sin⁡2xcos⁡3xf''(x) = \frac{1 + \sin^2 x}{\cos^3 x}

Pošto je brojilac 1+sin⁡2x>0 1 + \sin^2 x > 0 za svako x, x , znak drugog izvoda zavisi isključivo od imenioca cos⁡3x, \cos^3 x , odnosno od znaka funkcije cos⁡x. \cos x .

Na osnovnom periodu, funkcija je konveksna (f′′(x)>0 f''(x) > 0 ) kada je cos⁡x>0: \cos x > 0 :

x∈[0,π2)∪(3π2,2π]x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]

Funkcija je konkavna (f′′(x)<0 f''(x) < 0 ) kada je cos⁡x<0: \cos x < 0 :

x∈(π2,3π2)x \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)

Pošto drugi izvod nikada nije jednak nuli, funkcija nema prevojnih tačaka.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti