2087.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

sin⁡αcos⁡α−ctgα1−(sin⁡α+cos⁡α)2\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti imenilac. Kvadriramo binom u imeniocu:

(sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 da bismo uprostili dobijeni izraz:

sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α=1+2sin⁡αcos⁡α\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha

Zamenjujemo ovo nazad u imenilac i uprošćavamo ga:

1−(1+2sin⁡αcos⁡α)=1−1−2sin⁡αcos⁡α=−2sin⁡αcos⁡α1 - (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = -2\sin \alpha \cos \alpha

Sada prelazimo na brojilac. Zapisujemo kotangens preko sinusa i kosinusa, koristeći identitet ctgα=cos⁡αsin⁡α: \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} :

sin⁡αcos⁡α−ctgα=sin⁡αcos⁡α−cos⁡αsin⁡α\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha = \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Svodićemo izraze u brojiocu na zajednički imenilac:

sin⁡2αcos⁡α−cos⁡αsin⁡α\frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha}

Izvlačimo zajednički činilac cos⁡α \cos \alpha u brojiocu ovog razlomka:

cos⁡α(sin⁡2α−1)sin⁡α\frac{\cos \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha}

Iz osnovnog trigonometrijskog identiteta sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 sledi da je sin⁡2α−1=−cos⁡2α. \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha . Primenjujemo ovo na naš izraz:

cos⁡α(−cos⁡2α)sin⁡α=−cos⁡3αsin⁡α\frac{\cos \alpha (-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{-\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}

Sada vraćamo uprošćeni brojilac i imenilac u početni razlomak:

−cos⁡3αsin⁡α−2sin⁡αcos⁡α\frac{\frac{-\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}}{-2\sin \alpha \cos \alpha}

Rešavamo dvojni razlomak i kratimo negativne znake:

cos⁡3α2sin⁡2αcos⁡α\frac{\cos^3 \alpha}{2\sin^2 \alpha \cos \alpha}

Skraćujemo cos⁡α \cos \alpha u brojiocu i imeniocu:

cos⁡2α2sin⁡2α\frac{\cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha}

Prepoznajemo da je cos⁡2αsin⁡2α=ctg2α, \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha , pa je konačan rezultat:

12ctg2α\frac{1}{2}\text{ctg}^2 \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti