2714.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti minimum funkcije y=sin⁡x−sin⁡(x+π4). y = \sin x - \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo trigonometrijsku formulu za razliku sinusa: sin⁡α−sin⁡β=2sin⁡α−β2cos⁡α+β2. \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} .

Uvrštavamo argumente α=x \alpha = x i β=x+π4 \beta = x + \frac{\pi}{4} u formulu:

y=2sin⁡(x−(x+π4)2)cos⁡(x+(x+π4)2)y = 2 \sin \left( \frac{x - (x + \frac{\pi}{4})}{2} \right) \cos \left( \frac{x + (x + \frac{\pi}{4})}{2} \right)

Sređujemo izraze unutar zagrada:

y=2sin⁡(−π8)cos⁡(x+π8)y = 2 \sin \left( -\frac{\pi}{8} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{8} \right)

Koristimo osobinu neparnosti sinusne funkcije sin⁡(−θ)=−sin⁡θ: \sin(-\theta) = -\sin \theta :

y=−2sin⁡(π8)cos⁡(x+π8)y = -2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{8} \right)

Da bismo odredili minimum funkcije, posmatramo vrednosti kosinusne funkcije. Znamo da je opseg kosinusa:

−1≤cos⁡(x+π8)≤1-1 \le \cos \left( x + \frac{\pi}{8} \right) \le 1

Pošto je koeficijent ispred kosinusa −2sin⁡π8 -2 \sin \frac{\pi}{8} negativan (jer je sin⁡π8>0 \sin \frac{\pi}{8} > 0 ), minimum funkcije se dostiže kada je kosinus maksimalan, odnosno jednak 1.

ymin=−2sin⁡(π8)⋅1=−2sin⁡(π8)y_{min} = -2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cdot 1 = -2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right)

Vrednost sin⁡π8 \sin \frac{\pi}{8} možemo izračunati preko formule za polovinu ugla sin⁡α2=1−cos⁡α2: \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} :

sin⁡π8=1−cos⁡π42=1−222=2−24=2−22\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

Konačno računamo minimalnu vrednost:

ymin=−2⋅2−22=−2−2y_{min} = -2 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = -\sqrt{2 - \sqrt{2}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti