2715.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti ekstremne vrednosti funkcije:

f(x)=sin⁡4x−3cos⁡4xf(x) = \sin 4x - \sqrt{3} \cos 4x
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u određivanju ekstremnih vrednosti je transformacija funkcije u oblik Asin⁡(kx+φ) A \sin(kx + \varphi) kako bismo lakše uočili amplitudu. Izraz sin⁡4x−3cos⁡4x \sin 4x - \sqrt{3} \cos 4x možemo transformisati izvlačenjem zajedničkog faktora ispred zagrade.

f(x)=2(12sin⁡4x−32cos⁡4x)f(x) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin 4x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4x \right)

Koristimo trigonometrijske identitete cos⁡π3=12 \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} i sin⁡π3=32 \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} kako bismo primenili formulu za sinus razlike uglova sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .

f(x)=2(sin⁡4xcos⁡π3−cos⁡4xsin⁡π3)f(x) = 2 \left( \sin 4x \cos \frac{\pi}{3} - \cos 4x \sin \frac{\pi}{3} \right)

Sada funkciju možemo zapisati u sažetom obliku:

f(x)=2sin⁡(4x−π3)f(x) = 2 \sin \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right)

Ekstremne vrednosti funkcije oblika f(x)=Asin⁡(g(x)) f(x) = A \sin(g(x)) zavise od amplitude A. A . Pošto je opseg funkcije sinus [−1,1], [-1, 1] , sledi da je:

−1≤sin⁡(4x−π3)≤1-1 \le \sin \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right) \le 1

Množenjem celog izraza sa 2, dobijamo opseg vrednosti funkcije f(x): f(x) :

−2≤2sin⁡(4x−π3)≤2-2 \le 2 \sin \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right) \le 2

Minimalna vrednost funkcije (minimum) je:

fmin=−2f_{min} = -2

Maksimalna vrednost funkcije (maksimum) je:

fmax=2f_{max} = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti