1720.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem nejednačina:

{x2−3x−10>0x2+3x−4<0\begin{cases} x^2 - 3x - 10 > 0 \\ x^2 + 3x - 4 < 0 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rešavamo prvu kvadratnu nejednačinu x2−3x−10>0. x^2 - 3x - 10 > 0 . Nalazimo nule odgovarajuće kvadratne funkcije.

x1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅1⋅(−10)2⋅1=3±9+402=3±72x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}

Nule prve funkcije su x1=−2 x_1 = -2 i x2=5. x_2 = 5 . Pošto je koeficijent uz x2 x^2 pozitivan, parabola je okrenuta otvorom na gore.

x∈(−∞,−2)∪(5,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty)

Zatim rešavamo drugu kvadratnu nejednačinu x2+3x−4<0. x^2 + 3x - 4 < 0 . Nalazimo nule ove funkcije.

x3,4=−3±32−4⋅1⋅(−4)2⋅1=−3±9+162=−3±52x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}

Nule druge funkcije su x3=−4 x_3 = -4 i x4=1. x_4 = 1 . Tražimo gde je funkcija negativna.

x∈(−4,1)x \in (-4, 1)

Rešenje sistema je presek skupova rešenja pojedinačnih nejednačina.

x∈((−∞,−2)∪(5,+∞))∩(−4,1)x \in ((-\infty, -2) \cup (5, +\infty)) \cap (-4, 1)
x∈(−∞,−4)x \in (-\infty, -4)
x∈(−4,−2)x \in (-4, -2)
x∈(−2,1)x \in (-2, 1)
x∈(1,5)x \in (1, 5)
x∈(5,+∞)x \in (5, +\infty)
x2−3x−10>0x^2 - 3x - 10 > 0
++
++
− -
− -
++
x2+3x−4<0x^2 + 3x - 4 < 0
++
− -
− -
++
++

Upoređivanjem intervala, vidimo da oba uslova važe samo na intervalu:

x∈(−4,−2)x \in (-4, -2)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti