1721.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem nejednačina −2<−x2+5x−7x−4⩽1. -2 < \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} \leqslant 1 .

REŠENJE ZADATKA

Datu dvojnu nejednačinu razdvajamo na sistem od dve nejednačine koje moraju biti istovremeno ispunjene:

{−x2+5x−7x−4>−2−x2+5x−7x−4⩽1\begin{cases} \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} > -2 \\ \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} \leqslant 1 \end{cases}

Prvo rešavamo levu nejednačinu −x2+5x−7x−4+2>0. \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} + 2 > 0 . Svodimo na zajednički imenilac:

−x2+5x−7+2(x−4)x−4>0  ⟹  −x2+7x−15x−4>0\frac{-x^2 + 5x - 7 + 2(x - 4)}{x - 4} > 0 \implies \frac{-x^2 + 7x - 15}{x - 4} > 0

Ispitujemo znak brojioca −x2+7x−15. -x^2 + 7x - 15 . Diskriminanta je D=72−4(−1)(−15)=49−60=−11. D = 7^2 - 4(-1)(-15) = 49 - 60 = -11 . Pošto je D<0 D < 0 i koeficijent uz x2 x^2 negativan, brojilac je uvek negativan.

−x2+7x−15<0za svako x∈R-x^2 + 7x - 15 < 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Da bi količnik bio pozitivan, a brojilac je uvek negativan, imenilac mora biti negativan:

x−4<0  ⟹  x<4x - 4 < 0 \implies x < 4

Sada rešavamo desnu nejednačinu −x2+5x−7x−4−1⩽0. \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} - 1 \leqslant 0 . Svodimo na zajednički imenilac:

−x2+5x−7−(x−4)x−4⩽0  ⟹  −x2+4x−3x−4⩽0\frac{-x^2 + 5x - 7 - (x - 4)}{x - 4} \leqslant 0 \implies \frac{-x^2 + 4x - 3}{x - 4} \leqslant 0

Nule brojioca −x2+4x−3=0 -x^2 + 4x - 3 = 0 su x1=1 x_1 = 1 i x2=3. x_2 = 3 . Nula imenioca je x=4. x = 4 . Formiramo tabelu znaka:

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,3)x \in (1, 3)
x∈(3,4)x \in (3, 4)
x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
−x2+4x−3-x^2+4x-3
− -
+ +
− -
− -
x−4x-4
− -
− -
− -
+ +
kolicˇnikkoličnik
+ +
− -
+ +
− -

Iz tabele vidimo da je izraz manji ili jednak nuli za:

x∈[1,3]∪(4,+∞)x \in [1, 3] \cup (4, +\infty)

Konačno rešenje je presek rešenja prve nejednačine x<4 x < 4 i druge nejednačine x∈[1,3]∪(4,+∞): x \in [1, 3] \cup (4, +\infty) :

x∈[1,3]x \in [1, 3]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti