1694.

290.b

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratnu nejednačinu:

x2−3x−4<0x^2 - 3x - 4 < 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo pronalazimo nule kvadratne funkcije f(x)=x2−3x−4 f(x) = x^2 - 3x - 4 rešavanjem kvadratne jednačine:

x2−3x−4=0x^2 - 3x - 4 = 0

Koristimo obrazac za rešavanje kvadratne jednačine x1,2=−b±b2−4ac2a, x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} , gde je a=1,b=−3,c=−4: a=1, b=-3, c=-4 :

x1,2=3±(−3)2−4⋅1⋅(−4)2⋅1x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom i dobijamo rešenja:

x1,2=3±9+162=3±52x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}

Nule funkcije su:

x1=3−52=−1,x2=3+52=4x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4

Kvadratni trinom možemo napisati u rastavljenom obliku (x−x1)(x−x2): (x - x_1)(x - x_2) :

(x+1)(x−4)<0(x + 1)(x - 4) < 0
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,4)x \in (-1, 4)
x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
x+1x + 1
− -
+ +
+ +
x−4x - 4
− -
− -
+ +
x2−3x−4x^2 - 3x - 4
+ +
− -
+ +

Na osnovu tabele, vidimo da je izraz negativan u intervalu:

x∈(−1,4)x \in (-1, 4)