640.

Kvadratna nejednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

∣x+3∣+xx+2≥1\frac {|x+3|+x}{x+2}\ge1
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x+2≠2  ⟹  x≠−2x+2\not=2 \implies x\not=-2

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣x+3∣={x+3,x+3≥0−(x+3),x+3<0|x+3|= \begin {cases} x+3, \quad x+3 \ge 0\\ -(x+3), \quad x+3< 0 \end {cases}
∣x+3∣={x+3,x≥−3−(x+3),x<−3|x+3|= \begin {cases} x+3, \quad x \ge -3\\ -(x+3), \quad x<-3 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja.

1.x+3+xx+2≥1zax≥−32.−x−3+xx+2≥1zax<−31. \quad \frac {x+3+x}{x+2}\ge1 \quad \text{za} \quad x \ge-3\\ 2. \quad \frac {-x-3+x}{x+2}\ge1 \quad \text{za} \quad x<-3

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

x+3+xx+2≥1 \frac {x+3+x}{x+2}\ge1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x+3+xx+2−1≥0 \frac {x+3+x}{x+2}-1\ge0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

x+1x+2≥0 \frac {x+1}{x+2}\ge0
DODATNO OBJAŠNJENJE
x∈(−∞,−2)x\in(-\infty, -2)
x∈(−2,−1]x\in(-2, -1]
x∈[−1,∞)x\in[-1, \infty)
x+1x+1
−-
−-
++
x+2x+2
−-
++
++
x+1x+2 \frac {x+1}{x+2}
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x≥−3:x\ge-3:

x∈( (−∞,−2) ∪ [−1,∞) ) ∩ [−3,∞)=[−3,−2) ∪ [−1,∞)x\in ( \ (-\infty,-2) \ \cup \ [-1, \infty) \ ) \ \cap \ [-3, \infty)=[-3,-2) \ \cup \ [-1, \infty)

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

−x−3+xx+2≥1\frac {-x-3+x}{x+2}\ge1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

−x−3+xx+2−1≥0\frac {-x-3+x}{x+2}-1\ge0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

−x−5x+2≥0\frac {-x-5}{x+2}\ge0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti izraz sa −1-1 i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

x+5x+2≤0\frac {x+5}{x+2}\le0
x∈(−∞,−5]x\in(-\infty, -5]
x∈[−5,−2)x\in[-5,-2)
x∈(−2,∞)x\in(-2, \infty)
x+5x+5
−-
++
++
x+2x+2
−-
−-
++
x+5x+2\frac {x+5}{x+2}
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x<−3:x<-3:

x∈[−5,−2) ∩ (−∞,−3)=[−5,−2)x\in[-5,-2) \ \cap \ (-\infty, -3)= [-5,-2)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x∈( [−3,−2) ∪ [−1,∞) ) ∪ [−5,−2)=[−5,−2) ∪ [−1,∞)x\in ( \ [-3,-2) \ \cup \ [-1, \infty) \ ) \ \cup \ [-5,-2)=[-5,-2) \ \cup \ [-1, \infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti