610.

Kvadratna nejednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

∣x2+4x∣≥1−2x|x^2+4x| \ge 1-2x
REŠENJE ZADATKA

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣x2+4x∣={x2+4x,x2+4x≥0−(x2+4x),x2+4x<0|x^2+4x|= \begin {cases} x^2+4x, \quad x^2+4x \ge 0\\ -(x^2+4x), \quad x^2+4x < 0 \end {cases}
∣x2+4x∣={x2+4x,x∈(−∞,−4]∪[0,∞)−x2−4x,x∈(−4,0)|x^2+4x|= \begin {cases} x^2+4x, \quad x \in (-\infin, -4] \cup [0, \infin) \\ -x^2-4x, \quad x \in (-4, 0) \end {cases}

Rešavanje nejednačine razvodjiti na dva slučaja.

1.x2+4x≥1−2xzax∈(−∞,−4]∪[0,∞)2.−x2−4x≥1−2xzax∈(−4,0)1. \quad x^2+4x \ge 1-2x \quad \text{za} \quad x \in (-\infin, -4] \cup [0, \infin) \\ 2. \quad -x^2-4x \ge 1-2x \quad \text{za} \quad x \in (-4, 0)

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

x2+6x−1≥0x^2+6x -1\ge 0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

x2+6x−1=0x1,2=−6±36+42⋅1x1,2=−6±402x1,2=−3±10x1=−3+10∨x2=−3−10x^2+6x -1 = 0 \\ x_{1,2}=\frac {-6\pm\sqrt{36+4} } {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {-6\pm\sqrt{40} } {2} \\ x_{1,2}=-3\pm\sqrt{10} \\ x_1= -3 + \sqrt{10} \quad \lor \quad x_2=-3 - \sqrt{10}

Pošto je a=1>0a=1>0 i D=40>0,D=40>0, kvadratna funkcija x2+6x−1x^2+6x -1 je nenegativna za:

x∈(−∞, −3−10]∪x∈[−3+10, ∞)x \in (-\infin, \ -3- \sqrt{10}] \quad \cup \quad x \in[-3 +\sqrt{10} ,\ \infin)

Pronaći presek sa datim uslovom u prvom slučaju.

x∈( (−∞, −3−10]∪[−3+10, ∞) )∩( (−∞,−4]∪[0,∞) )=(−∞, −3−10]∪[−3+10, ∞)x \in \Big ( \ (-\infin, \ -3 - \sqrt{10}] \cup [-3 +\sqrt{10},\ \infin) \ \Big ) \quad \cap \quad \Big( \ (-\infin, -4] \cup [0, \infin) \ \Big) \quad = \quad (-\infin, \ -3 - \sqrt{10}] \cup [-3 +\sqrt{10},\ \infin)

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

−x2−2x−1≥0-x^2-2x -1\ge 0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

−x2−2x−1=0x1,2=2±4−42⋅(−1)x1,2=−22x1=x2=−1-x^2-2x -1= 0 \\ x_{1,2}=\frac {2\pm\sqrt{4-4} } {2\cdot(-1)} \\ x_{1,2}=-\frac{2}{2} \\ x_1=x_2=-1

Pošto je a=−1<0a=-1<0 i D=0,D=0, kvadratna nejednačina −x2−2x−1≥0-x^2-2x -1\ge 0 je ≥0\ge0 ima rešenje samo u tački:

x=−1x=-1

Pronaći presek sa datim uslovom u drugom slučaju.

x∈{−1} ∩ (−4,0)={−1}x\in \{-1\}\ \cap \ (-4, 0) = \{-1\}

Konačno rešenje nejednačine jednako je uniji rešenja oba slučaja.

(−∞, −3−10]∪[−3+10, ∞) ∪ {−1}(-\infin, \ -3 - \sqrt{10}] \cup [-3 +\sqrt{10},\ \infin)\ \cup\ \{ -1\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti