620.

Kvadratna nejednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

∣x+x−1−4∣≤2|x+x^{-1}-4|\le2
REŠENJE ZADATKA

Pošto je apsolutna vrednost datog izraza po uslovu zadatka manja ili jednaka 2, to znači da dati izraz van apsolutnih zagrada mora imati vrednost između -2 i 2.

−2≤x+x−1−4≤2-2\le x+x^{-1}-4\le2

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

−2≤x2−4x+1x≤2,x≠0-2\le \frac {x^2-4x+1} x\le2 , \quad x\not=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja.

1.x2−4x+1x≥−22.x2−4x+1x≤21. \quad \frac {x^2-4x+1} x\ge-2 \\ 2. \quad \frac {x^2-4x+1} x\le2

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

x2−4x+1x≥−2\frac {x^2-4x+1} x\ge-2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x2−4x+1x+2≥0\frac {x^2-4x+1} x+2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

x2−2x+1x≥0\frac {x^2-2x+1} x\ge0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za kvadrat binoma: (a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2

(x−1)2x≥0\frac {(x-1)^2} x\ge0

Da bi razlomak bio veći ili jednak 0 i kako je brojilac (x−1)2≥0,(x-1)^2\ge0, neophodno je da imenilac xx bude veći od 0. Tako se prva nejednačina svodi na:

x>0x>0

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

x2−4x+1x≤2\frac {x^2-4x+1} x\le2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x2−4x+1x−2≤0\frac {x^2-4x+1} x-2\le0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

x2−6x+1x≤0\frac {x^2-6x+1} x\le0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−6b=-6 i c=1.c=1.

x1,2=6±(−6)2−4⋅1⋅12⋅1  ⟹  x1=3+22,x2=3−22 x_{1,2}=\frac {6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot1} } {2\cdot1} \implies x_1=3+2\sqrt2, \quad x_2=3-2\sqrt2

Rastaviti brojilac po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratne jednačine.

(x−3−22)(x−3+2)x≤0\frac {(x-3-2\sqrt2)(x-3+\sqrt2)} x\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

(x−3−22)(x−3+2)x=0\frac {(x-3-2\sqrt2)(x-3+\sqrt2)} x=0
x∈(−∞,0)x\in(-\infty, 0)
x∈(0,3−22]x\in(0, 3-2\sqrt2]
x∈[3−22,3+22]x\in[3-2\sqrt2, 3+2\sqrt2]
x∈[3+22,∞)x\in[3+2\sqrt2, \infty)
x−3−2x-3-\sqrt2
−-
−-
−-
++
x−3+2x-3+\sqrt2
−-
−-
++
++
xx
−-
++
++
++
(x−3−22)(x−3+2)x\frac {(x-3-2\sqrt2)(x-3+\sqrt2)} x
−-
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x∈(−∞,0) ∪ [3−22, 3+22]x\in(-\infty,0) \ \cup \ [3-2\sqrt2, \ 3+2\sqrt2]

Pronaći presek rešenja oba slučaja.

x∈( (−∞,0) ∪ [3−22, 3+22] ) ∩ (0,∞)=[3−22, 3+22]x\in \big( \ (-\infty,0) \ \cup \ [3-2\sqrt2, \ 3+2\sqrt2]\ \big) \ \cap \ (0, \infty)=[3-2\sqrt2, \ 3+2\sqrt2]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti