621.

Kvadratna nejednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

∣x−3∣x2−5x+6≥2\frac {|x-3|} {x^2-5x+6}\ge2
REŠENJE ZADATKA

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣x−3∣={x−3,x−3≥0−(x−3),x−3<0|x-3|= \begin {cases} x-3, \quad x-3 \ge 0\\ -(x-3), \quad x-3 < 0 \end {cases}
∣x−3∣={x−3,x≥3−(x−3),x<3|x-3|= \begin {cases} x-3, \quad x \ge 3\\ -(x-3), \quad x < 3 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razvodjiti na dva slučaja.

1.x−3x2−5x+6≥2zax∈[3,∞)2.−x+3x2−5x+6≥2zax∈(−∞,3)1. \quad \frac {x-3} {x^2-5x+6}\ge2\quad \text{za} \quad x \in [3, \infty)\\ 2. \quad \frac {-x+3} {x^2-5x+6}\ge2 \quad \text{za} \quad x \in (-\infty,3)

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

x−3x2−5x+6≥2\frac {x-3} {x^2-5x+6}\ge2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x−3x2−5x+6−2≥0\frac {x-3} {x^2-5x+6}-2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

−2x2+11x−15x2−5x+6≥0\frac {-2x^2+11x-15} {x^2-5x+6}\ge0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti nejednačinu sa −1-1 i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

2x2−11x+15x2−5x+6≤0\frac {2x^2-11x+15} {x^2-5x+6}\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2x2−11x+15x2−5x+6=0\frac {2x^2-11x+15} {x^2-5x+6}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=−11b=-11 i c=15.c=15.

x1,2=11±(−11)2−4⋅2⋅152⋅2  ⟹  x1=3,x2=52 x_{1,2}=\frac {11\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot2\cdot15} } {2\cdot2} \implies x_1=3, \quad x_2=\frac 52

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−5b=-5 i c=6.c=6.

x1,2=5±(−5)2−4⋅1⋅62⋅1  ⟹  x1=3,x2=2 x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6} } {2\cdot1} \implies x_1=3, \quad x_2=2

Rastaviti brojilac po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratnih jednačina.

2(x−3)(x−52)(x−2)(x−3)≤0,x≠2,∧x≠3\frac {2(x-3)(x-\frac 52)} {(x-2)(x-3)}\le0, \quad x\not=2,\quad\land\quad x\not=3
x∈(−∞,2)x\in(-\infty, 2)
x∈(2,52]x\in(2, \frac 52]
x∈[52,3)x\in[\frac 52,3)
x∈(3,∞)x\in(3, \infty)
x−3x-3
−-
−-
−-
++
x−52x-\frac 52
−-
−-
++
++
x−2x-2
−-
++
++
++
x−3x-3
−-
−-
−-
++
2(x−3)(x−52)(x−2)(x−3)\frac {2(x-3)(x-\frac 52)} {(x-2)(x-3)}
++
−-
++
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x≥3:x\ge3:

x∈(2,52] ∩ [3,∞)=∅x\in(2,\frac 52] \ \cap \ [3,\infty)=\varnothing

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

−x+3x2−5x+6≥2\frac {-x+3} {x^2-5x+6}\ge2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

−x+3x2−5x+6−2≥0\frac {-x+3} {x^2-5x+6}-2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

−2x2+9x−9x2−5x+6≥0\frac {-2x^2+9x-9}{x^2-5x+6}\ge0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti nejednačinu sa −1-1 i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

2x2−9x+9x2−5x+6≤0\frac {2x^2-9x+9}{x^2-5x+6}\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2x2−9x+9x2−5x+6=0\frac {2x^2-9x+9}{x^2-5x+6}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=−9b=-9 i c=9.c=9.

x1,2=9±(−9)2−4⋅2⋅92⋅2  ⟹  x1=3,x2=32 x_{1,2}=\frac {9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot2\cdot9} } {2\cdot2} \implies x_1=3, \quad x_2=\frac 32

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−5b=-5 i c=6.c=6.

x1,2=5±(−5)2−4⋅1⋅62⋅1  ⟹  x1=3,x2=2 x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6} } {2\cdot1} \implies x_1=3, \quad x_2=2

Rastaviti brojilac po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratnih jednačina.

2(x−3)(x−32)(x−3)(x−2)≤0,x≠2,∧x≠3\frac {2(x-3)(x-\frac 32)}{(x-3)(x-2)}\le0, \quad x\not=2,\quad\land\quad x\not=3
x∈(−∞,32]x\in(-\infty, \frac 32]
x∈[32,2)x\in[\frac 32, 2)
x∈(2,3)x\in(2,3)
x∈(3,∞)x\in(3, \infty)
x−3x-3
−-
−-
−-
++
x−32x-\frac32
−-
++
++
++
x−3x-3
−-
−-
−-
++
x−2x-2
−-
−-
++
++
2(x−3)(x−32)(x−3)(x−2)\frac {2(x-3)(x-\frac 32)}{(x-3)(x-2)}
++
−-
++
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x<3:x<3:

x∈[32,2) ∩ (−∞,3)=[32,2)x\in [\frac 32, 2) \ \cap \ (-\infty, 3) = [\frac 32, 2)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x∈[32,2) ∪ ∅=[32,2)x\in [\frac 32, 2) \ \cup \ \varnothing = [\frac 32, 2)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti