622.

Kvadratna nejednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

∣x−2∣x2−3x+2≥2\frac {|x-2|}{x^2-3x+2}\ge2
REŠENJE ZADATKA

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣x−2∣={x−2,x−2≥0−(x−2),x−2<0|x-2|= \begin {cases} x-2, \quad x-2 \ge 0\\ -(x-2), \quad x-2 < 0 \end {cases}
∣x−3∣={x−2,x≥2−(x−2),x<2|x-3|= \begin {cases} x-2, \quad x \ge 2\\ -(x-2), \quad x < 2 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razvodjiti na dva slučaja.

1.x−2x2−3x+2≥2zax∈[2,∞)2.−x+2x2−3x+2≥2zax∈(−∞,2)1. \quad \frac {x-2}{x^2-3x+2}\ge2\quad \text{za} \quad x \in [2, \infty)\\ 2. \quad \frac {-x+2}{x^2-3x+2}\ge2 \quad \text{za} \quad x \in (-\infty,2)

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

x−2x2−3x+2≥2 \frac {x-2}{x^2-3x+2}\ge2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x−2x2−3x+2−2≥0 \frac {x-2}{x^2-3x+2}-2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

−2x2+7x−6x2−3x+2≥0 \frac {-2x^2+7x-6} {x^2-3x+2}\ge0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti nejednačinu sa −1-1 i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

2x2−7x+6x2−3x+2≤0 \frac {2x^2-7x+6} {x^2-3x+2}\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2x2−7x+6x2−3x+2=0 \frac {2x^2-7x+6} {x^2-3x+2}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=−7b=-7 i c=6.c=6.

x1,2=7±(−7)2−4⋅2⋅62⋅2  ⟹  x1=2,x2=32 x_{1,2}=\frac {7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot6} } {2\cdot2} \implies x_1=2, \quad x_2=\frac 32

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−3b=-3 i c=2.c=2.

x1,2=3±(−3)2−4⋅1⋅22⋅1  ⟹  x1=2,x2=1 x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2} } {2\cdot1} \implies x_1=2, \quad x_2=1

Rastaviti brojilac po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratnih jednačina.

2(x−2)(x−32)(x−2)(x−1)≤0,x≠2∧x≠1 \frac {2(x-2)(x-\frac32)} {(x-2)(x-1)}\le0, \quad x\not=2 \quad\land\quad x\not=1
x∈(−∞,1)x\in(-\infty,1)
x∈(1,32]x\in(1,\frac32]
x∈[32,2)x\in[\frac 32,2)
x∈(2,∞)x\in(2, \infty)
x−2x-2
−-
−-
−-
++
x−32x-\frac 32
−-
−-
++
++
x−2x-2
−-
−-
−-
++
x−1x-1
−-
++
++
++
2(x−2)(x−32)(x−2)(x−1) \frac {2(x-2)(x-\frac32)} {(x-2)(x-1)}
++
−-
++
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x≥2:x\ge2:

x∈(1,32] ∩ [2,∞)=∅x\in(1,\frac 32] \ \cap \ [2,\infty)=\varnothing

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

−x+2x2−3x+2≥2\frac {-x+2}{x^2-3x+2}\ge2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

−x+2x2−3x+2−2≥0\frac {-x+2}{x^2-3x+2}-2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

−2x2+5x−2x2−3x+2≥0\frac {-2x^2+5x-2} {x^2-3x+2}\ge0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti nejednačinu sa −1-1 i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

2x2−5x+2x2−3x+2≤0\frac {2x^2-5x+2} {x^2-3x+2}\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2x2−5x+2x2−3x+2=0\frac {2x^2-5x+2} {x^2-3x+2}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=−5b=-5 i c=2.c=2.

x1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2  ⟹  x1=12,x2=2 x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot2} } {2\cdot2} \implies x_1=\frac12, \quad x_2=2

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−3b=-3 i c=2.c=2.

x1,2=3±(−3)2−4⋅1⋅22⋅1  ⟹  x1=2,x2=1 x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2} } {2\cdot1} \implies x_1=2, \quad x_2=1

Rastaviti brojilac po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratnih jednačina.

2(x−12)(x−2)(x−2)(x−1)≤0,x≠2∧x≠1\frac {2(x-\frac12)(x-2)} {(x-2)(x-1)}\le0, \quad x\not=2 \quad\land\quad x\not=1
x∈(−∞,12]x\in(-\infty, \frac12]
x∈[12,1)x\in[\frac12,1)
x∈(1,2)x\in(1,2)
x∈(2,∞)x\in(2,\infty)
x−12x-\frac12
−-
++
++
++
x−2x-2
−-
−-
−-
++
x−2x-2
−-
−-
−-
++
x−1x-1
−-
−-
++
++
2(x−12)(x−2)(x−2)(x−1)\frac {2(x-\frac12)(x-2)} {(x-2)(x-1)}
++
−-
++
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x<2:x<2:

x∈[12,1) ∩ (−∞,2)=[12,1)x\in[\frac 12,1) \ \cap \ (-\infty, 2)=[\frac 12,1)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x∈[12,1) ∪ ∅=[12,1)x\in [\frac 12, 1) \ \cup \ \varnothing = [\frac 12, 1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti