637.

Kvadratna nejednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

x2−∣x∣−12x−3≥2x\frac {x^2-|x|-12} {x-3} \ge 2x
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x−3≠0  ⟹  x≠3x-3\not=0 \implies x\not=3

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣x∣={x,x≥0−x,x<0|x|= \begin {cases} x, \quad x \ge 0\\ -x, \quad x< 0 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja.

1.x2−x−12x−3≥2xzax≥02.x2+x−12x−3≥2xzax<01. \quad \frac {x^2-x-12} {x-3} \ge 2x \quad \text{za} \quad x \ge 0\\ 2. \quad \frac {x^2+x-12} {x-3} \ge 2x \quad \text{za} \quad x<0

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

x2−x−12x−3≥2x \frac {x^2-x-12} {x-3} \ge 2x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x2−x−12x−3−2x≥0 \frac {x^2-x-12} {x-3}-2x \ge 0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

−x2+5x−12x−3≥0 \frac {-x^2+5x-12} {x-3} \ge 0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti izraz sa −1-1 i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

x2−5x+12x−3≤0 \frac {x^2-5x+12} {x-3} \le 0

Pošto je a=1>0a=1>0 i D=−11<0,D=-11<0, kvadratna funkcija x2−5x+12x^2-5x+12 nije definisana u skupu realnih brojeva. Tada se nejednačina svodi na:

x−3<0  ⟹  x<3x-3<0 \implies x<3

Naći presek sa uslovom x≥0:x\ge0:

x∈(−∞,3) ∪ [0,∞)=[0,3)x\in(-\infty, 3) \ \cup \ [0,\infty)=[0,3)

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

x2+x−12x−3≥2x \frac {x^2+x-12} {x-3} \ge 2x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x2+x−12x−3−2x≥0 \frac {x^2+x-12} {x-3} -2x\ge 0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

−x2+7x−12x−3≥0 \frac {-x^2+7x-12} {x-3}\ge 0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti izraz sa −1-1 i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

x2−7x+12x−3≤0 \frac {x^2-7x+12} {x-3}\le 0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−7b=-7 i c=12c=12

x1,2=7±(−7)2−4⋅1⋅122⋅1  ⟹  x1=4,x2=3x_{1,2}=\frac {7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot12}} {2\cdot1} \implies x_1=4, \quad x_2=3

Rastaviti nejednačinu po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratne jednačine.

(x−3)(x−4)x−3≤0 \frac {(x-3)(x-4)} {x-3}\le 0
x∈(−∞,3)x\in(-\infty, 3)
x∈(3,4]x\in(3,4]
x∈[4,∞)x\in[4, \infty)
x−3x-3
−-
++
++
x−4x-4
−-
−-
++
x−3x-3
−-
++
++
(x−3)(x−4)x−3 \frac {(x-3)(x-4)} {x-3}
−-
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x<0:x<0:

x∈( (−∞,3) ∪ (3,4] ) ∩ (−∞,0)=(−∞,0)x\in ( \ (-\infty,3) \ \cup \ (3,4] \ ) \ \cap \ (-\infty, 0)= (-\infty, 0)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x∈[0,3) ∪ (−∞,0)=(−∞,3)x\in [0,3) \ \cup \ (-\infty, 0)= (-\infty, 3)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti