636.

Kvadratna nejednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

x2+∣x−1∣x−3≤x\frac {x^2+|x-1|} {x-3}\le x
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x−3≠0  ⟹  x≠3x-3\not=0 \implies x\not=3

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣x−1∣={x−1,x−1≥0−(x−1),x−1<0|x-1|= \begin {cases} x-1, \quad x-1 \ge 0\\ -(x-1), \quad x-1< 0 \end {cases}
∣x−1∣={x−1,x≥1−(x−1),x<1|x-1|= \begin {cases} x-1, \quad x \ge 1\\ -(x-1), \quad x<1 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja.

1.x2+x−1x−3≤xzax≥12.x2−x+1x−3≤xzax<11. \quad \frac {x^2+x-1} {x-3}\le x \quad \text{za} \quad x \ge 1\\ 2. \quad \frac {x^2-x+1} {x-3}\le x \quad \text{za} \quad x<1

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

x2+x−1x−3≤x \frac {x^2+x-1} {x-3}\le x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x2+x−1x−3−x≤0 \frac {x^2+x-1} {x-3}-x\le 0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

4x−1x−3≤0 \frac {4x-1} {x-3}\le 0
DODATNO OBJAŠNJENJE
x∈(−∞,14]x\in(-\infty, \frac 14]
x∈[14,3)x\in[\frac 14, 3)
x∈(3,∞)x\in(3, \infty)
4x−14x-1
−-
++
++
x−3x-3
−-
−-
++
4x−1x−3 \frac {4x-1} {x-3}
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x≥1:x\ge1:

x∈[14,3) ∩ [1,∞)=[1,3)x\in[\frac 14, 3) \ \cap \ [1, \infty)= [1,3)

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

x2−x+1x−3≤x\frac {x^2-x+1} {x-3}\le x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

x2−x+1x−3−x≤0\frac {x^2-x+1} {x-3}-x\le 0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

2x+1x−3≤0\frac {2x+1} {x-3}\le 0
DODATNO OBJAŠNJENJE
x∈(−∞,−12]x\in(-\infty, -\frac 12]
x∈[−12,3)x\in[-\frac 12, 3)
x∈(3,∞)x\in(3, \infty)
2x+12x+1
−-
++
++
x−3x-3
−-
−-
++
2x+1x−3\frac {2x+1} {x-3}
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom x<1:x<1:

x∈[−12,3) ∩ (−∞,1)=[−12,1)x\in[-\frac 12,3) \ \cap \ (-\infty,1)=[-\frac 12, 1)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x∈[1,3) ∪ [−12,1)=[−12,3)x\in [ 1,3) \ \cup \ [-\frac 12, 1)=[-\frac 12, 3)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti