Podeli

635.
Kvadratna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\frac {1-2x}{x^2-5x+6}<\frac 25

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

x^2-5x+6\not=0 \implies x\not=2 \quad\land\quad x\not=3

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {1-2x}{x^2-5x+6}-\frac 25<0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-2x^2-7}{5(x^2-5x+6)}<0

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {5(1-2x)}{5(x^2-5x+6)}-\frac {2(x^2-5x+6)}{5(x^2-5x+6)}<0

\frac {5(1-2x)-2(x^2-5x+6)}{5(x^2-5x+6)}<0

\frac {5-10x-2x^2+10x-12}{5(x^2-5x+6)}<0

Pomnožiti izraz sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

\frac {2x^2+7}{5(x^2-5x+6)}>0

Da bi razlomak bio veći od 0 i kako je brojilac $2x^2+7\ge0,$ neophodno je da imenilac $5(x^2-5x+6)$ bude veći od 0. Tako se nejednačina svodi na:

x^2-5x+6>0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

x^2-5x+6=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-5$ i $c=6$

x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}} {2\cdot1} \implies x_1=2, \quad x_2=3

Pošto je $a=1>0$ i $D=1>0,$ kvadratna funkcija $x^2-5x+6$ je veća od 0 za:

x\in (-\infty, 2) \ \cup \ (3, \infty)

635.Kvadratna nejednačina