619.

Kvadratna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

0≤x2+xx2−6x+9≤12 0\le\frac {x^2+x} {x^2-6x+9}\le\frac12
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

x2−6x+9≠0  ⟹  x≠3x^2-6x+9\not=0 \implies x\not=3

Rešavanje nejednačine podeliti u dva slučaja:

1.x2+xx2−6x+9≥02.x2+xx2−6x+9≤121. \quad \frac {x^2+x} {x^2-6x+9}\ge0 \\ 2. \quad \frac {x^2+x} {x^2-6x+9}\le\frac12

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

1.x2+xx2−6x+9≥02.x2+xx2−6x+9−12≤01. \quad \frac {x^2+x} {x^2-6x+9}\ge0 \\ 2. \quad \frac {x^2+x} {x^2-6x+9}-\frac12\le0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

1.x(x+1)(x−3)2≥02.x2+8x−92(x−3)2≤01. \quad \frac {x(x+1)} {(x-3)^2}\ge0 \\ 2. \quad \frac {x^2+8x-9}{2(x-3)^2}\le0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi slučaj: Da bi razlomak bio nenegativan i kako je imenilac (x−3)2≥0,(x-3)^2\ge0, neophodno je da brojilac x(x+1)x(x+1) bude veći ili jednak 0. Tako se prva nejednačina svodi na:

x(x+1)≥0x(x+1)\ge0

Drugi slučaj: Da bi razlomak bio manji ili jednak 0 i kako je imenilac 2(x−3)2≥0,2(x-3)^2\ge0, neophodno je da brojilac x2+8x−9x^2+8x-9 bude manji ili jednak 0. Tako se druga nejednačina svodi na:

x2+8x−9≤0x^2+8x-9\le0

Pronaći nule kvadratnih funkcija:

1.x(x+1)=0  ⟹  x=0∨x=−12.x2+8x−9=0  ⟹  x=−9∨x=11. \quad x(x+1)=0 \implies x=0 \quad\lor\quad x=-1 \\ 2. \quad x^2+8x-9=0 \implies x=-9 \quad\lor\quad x=1
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pošto je a=1>0a=1>0 i D=1>0,D=1>0, kvadratna funkcija x(x+1)x(x+1) je nenegativna za:

x∈(−∞, −1] ∪ [0, ∞)x\in(-\infty, \ -1] \ \cup \ [0,\ \infty)

Pošto je a=1>0a=1>0 i D=100>0,D=100>0, kvadratna funkcija x2+8x−9x^2+8x-9 je manja ili jednaka 0 za:

x∈[−9, 1]x\in[-9, \ 1]

Naći presek dobijenih rešenja i početnog uslova:

x∈[−9, −1] ∪ [0, 1]x\in[-9, \ -1] \ \cup\ [0,\ 1]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti