653.

Kvadratna jednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

∣x2−∣x−1∣∣|x^2-|x-1||
REŠENJE ZADATKA

Potrebno je prvo rešiti unutrašnju apsolutnu vrednost ∣x−1∣.|x-1|.

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣x−1∣={x−1,x−1≥0−(x−1),x−1<0|x-1|= \begin {cases} x-1, \quad x-1 \ge 0\\ -(x-1), \quad x-1 < 0 \end {cases}
∣x−1∣={x−1,x≥1−x+1,x<1|x-1|= \begin {cases} x-1, \quad x\ge1 \\ -x+1, \quad x <1 \end {cases}

Rešavanje jednačine razdvojiti na dva slučaja.

1.∣x2−(x−1)∣=1zax≥12.∣x2−(−x+1)∣=1zax<11. \quad |x^2-(x-1)| =1\quad \text{za} \quad x \ge1 \\ 2. \quad |x^2-(-x+1)| =1 \quad \text{za} \quad x <1

Na sređeni izraz prvog slučaja∣x2−x+1∣=1|x^2-x+1|=1primeniti definiciju apsolutne vrednosti

∣x2−x+1∣={x2−x+1,x2−x+1∣≥0−(x2−x+1),x2−x+1<0|x^2-x+1|= \begin {cases} x^2-x+1, \quad x^2-x+1| \ge 0\\ -(x^2-x+1), \quad x^2-x+1< 0 \end {cases}

Rešavanjem kvadratne jednačine x2−x+1=0x^2-x+1=0 ne dobiju se rešenja koja pripadaju skupu realnih brojeva pa uslovi ovog slučaja ne postoje.

∣x2−x+1∣={x2−x+1,x2−x+1∣≥0−x2+x−1,x2−x+1<0|x^2-x+1|= \begin {cases} x^2-x+1, \quad x^2-x+1| \ge 0\\ -x^2+x-1, \quad x^2-x+1< 0 \end {cases}

Rešavanje jednačine razdvojiti na dva slučaja.

1′x2−x+1=1zax2−x+1≥02′−x2+x−1=1zax2−x+1<01' \quad x^2-x+1=1\quad \text{za} \quad x^2-x+1\ge0 \\ 2' \quad -x^2+x-1= 1\quad \text{za} \quad x^2-x+1<0

Rešiti jednačinu u 1′1'slučaju:

x2−x+1=1x^2-x+1=1
x2−x=0x^2-x=0
x(x−1)=0  ⟹  x1=0,x2=1x(x-1)=0 \implies x_1=0,\quad x_2=1

Rešiti jednačinu u 2′2'slučaju:

−x2+x−1=1-x^2+x-1=1

Rešavanjem kvadratne jednačine x2−x+2=0,x^2-x+2=0,koja se dobije sređivanje izraza, ne dobiju se rešenja koja pripadaju skupu realnih brojeva.

Na sređeni izraz drugog slučaja∣x2+x−1∣=1|x^2+x-1|=1primeniti definiciju apsolutne vrednosti

∣x2+x−1∣={x2+x−1,x2+x−1∣≥0−(x2+x−1),x2+x−1<0|x^2+x-1|= \begin {cases} x^2+x-1, \quad x^2+x-1| \ge 0\\ -(x^2+x-1), \quad x^2+x-1< 0 \end {cases}
∣x2+x−1∣={x2+x−1,x∈(−∞,−1−52]∪[−1+52,∞)−x2−x+1,x∈(−1−52,−1+52)|x^2+x-1|= \begin {cases} x^2+x-1, \quad x \in (-\infin, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infin) \\ -x^2-x+1, \quad x \in (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \end {cases}
3′x2+x−1=1zax∈(−∞,−1−52]∪[−1+52,∞)4′−x2−x+1=1zax∈(−1−52,−1+52)3' \quad x^2+x-1=1\quad \text{za} \quad x \in (-\infin, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infin) \\ 4' \quad -x^2-x+1= 1\quad \text{za}\quad x\in\quad (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2})

Rešiti jednačinu u 3′3'slučaju:

x2+x−1=1x^2+x-1=1

Rešavanje kvadratne jednačine x2+x−2,x^2+x-2,dobijene sređivanje izraza, dobiju se rešenja x3=1x_3=1i x4=−2x_4=-2

Rešiti jednačinu u 4′4'slučaju.

−x2−x+1=1-x^2-x+1=1
−x(x+1)=0  ⟹  x5=0,x6=−1-x(x+1)=0 \implies x_5=0,\quad x_6=-1

Konačna rešenja zadatka su:

x1=0,x2=1,x3=−1,x4=−2x_1=0, \quad x_2=1, \quad x_3=-1, \quad x_4=-2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti